Banque de problèmes du RMT
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Deviner un nombres à partir de 4 assertions dont une fausse.
Analyse a priori
- Se rendre compte que les informations 1 et 3 sont contradictoires ; donc celle qui est fausse est l’une des deux.
- Comprendre que les informations 1 et 2 sont contradictoires, car la différence de deux nombres impairs est toujours paire. En déduire que 1 est fausse, sinon 2 et 3 seraient toutes les deux fausses.
Ou : écrire à partir de l’information 4, la liste des nombres de deux chiffres divisibles par 3 et non par 9 : 12, 15, 21, 24, 30, 33, 39, 42, 48, 51, 57, 60, 66, 69, 75, 78, 84, 87, 93, 96 (30 et 60 peuvent déjà être éliminés puisque les deux chiffres doivent être différents de 0) et chercher parmi eux ceux qui sont compatibles avec deux des autres informations.
- Supposer par exemple que l’information 1 soit vraie, par conséquent la liste se réduirait à : 15, 33, 39, 51, 57, 75, 93 mais aucun de ces nombres ne satisfait l’information 2 (51 - 15 = 36 : 33 – 33 = 0 ; 93 – 39 = 54 ; …). En déduire que l’information 1 est fausse et que l’information 3 est vraie.
- Extraire alors de la liste initiale tous les nombres pairs : 12, 24, 30, 42, 48, 60, 66, 78, 84, 96 et trouver que parmi ceux-ci le seul qui présente une différence de 27 avec son « inversé » est 96.
Ou : établir la liste de tous les nombres de deux chiffres qui diffèrent de 27 de leur « inversé » : 14, 41; 25, 52; 36, 63; 47, 74 ; 85, 58 ; 96, 69 . Observer qu’il s’agit de nombres dont un chiffre est pair et l’autre impair.
Déduire ainsi que les informations 1 et 2 sont également contradictoires et confirmer ainsi que c’est bien la 1 qui est fausse. Considérer par conséquent les nombres pairs des couples précédents (14, 36, 52, 58, 74, 96) et chercher celui qui est divisible par 3 mais non par 9, selon l’information 4. Trouver ainsi que le nombre pensé est 96.
Ou : utiliser l’écriture polynomiale des nombres, exprimer le nombre pensé par 10x + y et son « inversé » par 10y + x. Selon l’information 2, établir l’égalité 27 = 10x + y - (10y + x) = 9x – 9y = 9(x - y), d’où x - y = 3. En déduire que les deux chiffres du nombre pensé sont l’un pair et l’autre impair et procéder comme dans le cas précédent.
Ou : écrire le nombre xy avec x impair et y pair d’après 2 et 3 et utiliser la règle de divisibilité par 3 et non par 9 de la somme x + y, où x = 1, 3, 5, 7 ou 9 et y = 2, 4, 6 ou 8. On trouve trois possibilités : 12, 78, 96, seule 96 convient d’après la règle 2.
valeur positionnelle, divisibilité, raisonnement hypothético-déductif, calcul littéral
Points attribués sur 1424 classes:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 240 (34%) | 64 (9%) | 38 (5%) | 154 (22%) | 213 (30%) | 709 | 2.05 |
| Cat 8 | 96 (21%) | 44 (10%) | 35 (8%) | 100 (22%) | 186 (40%) | 461 | 2.51 |
| Cat 9 | 37 (26%) | 10 (7%) | 3 (2%) | 38 (26%) | 57 (39%) | 145 | 2.47 |
| Cat 10 | 29 (27%) | 5 (5%) | 7 (6%) | 23 (21%) | 45 (41%) | 109 | 2.46 |
| Total | 402 (28%) | 123 (9%) | 83 (6%) | 315 (22%) | 501 (35%) | 1424 | 2.27 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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