Banque de problèmes du RMT
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Trouver tous les choix possibles de six nombres, trois nombres pairs différents et trois nombres impairs différents, que l'on peut regrouper en paires dont le produit inférieur à 50 est toujours le même et différent des nombres de départ (les nombres sont disposés sur les faces d'un dé).
Analyse a priori
- Comprendre qu’il faut trouver trois couples de nombres différents dont le produit est le même et différent des six nombres écrits sur les faces, ce qui exclut le 1 parmi les six nombres.
- Comprendre ensuite que le produit cherché doit avoir au moins 6 diviseurs différents de lui-même et de 1, c’est-à-dire au moins 8 diviseurs.
- Entamer une recherche des nombres inférieurs à 50 ayant au moins 8 diviseurs et après quelques essais, se rendre compte qu’il faut examiner la manière dont ces nombres se décomposent en facteurs. (Évidemment tous les nombres premiers sont à écarter. Plus généralement tous les nombres impairs sont à écarter, car une face portant un nombre pair engendre un produit pair.)
Par exemple, 12 = 2 x 2 x 3 n’a que 6 diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6, comme 20 = 2 x 2 x 5, que 16 = 2 x 2 x 2 n’a que 4 diviseurs, etc. En allant un peu plus loin, on trouve des nombres ayant 8 diviseurs comme 24 = 2 × 2 × 2 × 3 ; 30 = 2 × 3 × 5 ; 40 = 2 × 2 × 2 × 5, ... et d’autres à plus de 8 diviseurs comme 36 = 2 × 2 × 3 × 3 (9 diviseurs), ... 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 (10 diviseurs).
L’inventaire est vite fait, il n’y a que 6 produits à envisager : 24, 30, 36, 40, 42, et 48.
- Choisir parmi les nombres ayant au moins 8 diviseurs et inférieurs à 50 ceux qui ont trois diviseurs impairs et trois pairs, différents de 1 et du produit. Il n’y en a que deux : 30 = 2 × 3 × 5 avec 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 42 = 2 × 3 × 7 avec 2, 3, 6, 7 14, 21.
Ou : se rendre compte que si l’on cherche 3 nombres pairs et 3 nombre impairs, tels que le produit de deux nombres de faces opposés soit constant, le produit de 2 nombres écrits sur 2 faces opposées doit être pair.
Parmi les nombres pairs inférieurs à 50, on peut rechercher ceux qui ont 2 diviseurs impairs premiers.
On trouve ainsi 30, qui a 3 et 5 comme diviseurs premiers impairs (ce qui donne comme 3e nombre impair 15) et dont les diviseurs pairs sont 2, 6 et 10 ; puis 42 qui a 3 et 7 comme diviseurs premiers impairs (ce qui donne comme 3e nombre impair 21) les diviseurs pairs étant 2, 6 et 14.
En partant du plus grand nombre impair, on constate que le plus petit nombre pair conduisant à un produit inférieur à 50 est 2 (15 × 2 = 30 et 21 × 2 = 42).
- Vérifier qu’avec 11 on obtiendrait un produit supérieur à 50.
multiplication, division, diviseur
Points attribués sur 713 classes:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 150 (33%) | 132 (29%) | 93 (20%) | 48 (10%) | 38 (8%) | 461 | 1.33 |
| Cat 9 | 40 (28%) | 35 (24%) | 35 (24%) | 20 (14%) | 14 (10%) | 144 | 1.53 |
| Cat 10 | 38 (35%) | 22 (20%) | 25 (23%) | 14 (13%) | 9 (8%) | 108 | 1.39 |
| Total | 228 (32%) | 189 (27%) | 153 (21%) | 82 (12%) | 61 (9%) | 713 | 1.38 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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