Banque de problèmes du RMT
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Trouver deux nombres formés des mêmes quatre chiffres, tous différents, tels que leur somme vaille 10000.
Analyse a priori
- Comprendre que la détermination des nombres de Michel et Philippe, qui ne se distinguent que par l’ordre de leurs quatre chiffres, nécessite de passer par l’addition des deux dont la somme est 10 000.
- Procéder systématiquement à partir de la colonne des unités et se rendre compte que les deux chiffres des unités ont pour somme, soit 10, soit 0 (0 + 0)
- Constater par quelques essais que les couples des chiffres des unités dont la somme est 10 : 1-9, 2-8, 3-7, 4-6, 5-5 entraînent un report de 1 sur les colonnes suivantes et que les chiffres des dizaines, centaines, milliers devraient être des couples dont la somme vaut 9. Mais ceci ne permet pas de trouver deux nombres avec les quatre mêmes chiffres dont la somme est 10 000.
Quelques exemples sont présentés ci-dessous : les deux premiers proposent le couple 6-4 pour les unités, qui exigent nécessairement dans deux autres colonnes les couples 4-5 et 3-6. On constate ainsi qu’on ne peut pas continuer sans enfreindre les consignes. Dans le troisième exemple, on part du couple 5-5 : il faut alors dans les colonnes des dizaines et des centaines le même couple de chiffre en ordre inversé dont la somme est 9 (ici 8 et 1, qui pourraient être remplacés par 7 et 2 ou 6 et 3). À ce point la seule possibilité pour la colonne des milliers est d’utiliser le couple 0-0, ce qui ne convient pas car les nombres sont de quatre chiffres, de somme 10 000.
- Se rendre compte que, dans le cas où les deux chiffres des unités sont « 0 », la seule manière de procéder, ainsi que nous l’avons observé ci-dessus, est de placer les « 5 » dans la colonne des dizaines et d’utiliser pour les colonnes des centaines et des milliers un même couple de chiffres dont la somme est 9, en ordre inversé : 8-1, 7-2, 6-3 (les seuls qui ne contiennent ni le « 0 » ni le « 5 »).
- Dresser finalement l’inventaire des possibilités : 1850 - 8150 ; 2750 - 7250, 3650 - 6350.
chiffre, nombre, notation positionnelle, décomposition d'un nombre, algorithme de l'addition, hypothèse, déduction
Points attribués sur 710 classes:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 200 (44%) | 86 (19%) | 69 (15%) | 54 (12%) | 48 (11%) | 457 | 1.26 |
| Cat 9 | 61 (42%) | 27 (19%) | 17 (12%) | 22 (15%) | 17 (12%) | 144 | 1.35 |
| Cat 10 | 48 (44%) | 26 (24%) | 7 (6%) | 20 (18%) | 8 (7%) | 109 | 1.21 |
| Total | 309 (44%) | 139 (20%) | 93 (13%) | 96 (14%) | 73 (10%) | 710 | 1.27 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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