Banque de problèmes du RMT
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Repérer les réponse sacceptables parmi quatre propositions de quadrillages complets d'une feuille rectangulaire de 36 cm sur 27 cm avec des côtés de carrés supérieurs à 1 cm.
Analyse a priori
- Se rendre compte que la mesure de l’aire du rectangle est 36 x 27 = 972 (en cm2), et qu’on peut ainsi calculer dans les quatre cas l’aire d’un carré :
F) 972 : 27 = 36 ; G) 972 : 48 = 20,25 ; H) 972 : 972 = 1 ; I) 972 : 588 = 81/49 ≈ 1,653...
- Se rendre compte qu’il ne suffit pas d’avoir calculé l’aire d’un carré pour juger de la validité de la réponse, mais qu’il faut se demander encore si la longueur du côté est supérieure ou égale à 1 ; ce qui est le cas pour les quatre élèves, F) 6 ; G) 4,5 ; H) 1 et I) 9/7 (le calcul de cette dernière racine carrée peut poser des problèmes à ceux qui ignorent l’existence des nombres rationnels).
- Se rendre compte finalement qu’il faut encore vérifier, dans le cadre géométrique, si on peut placer un nombre entier de carrés sur la longueur et la largeur de la feuille. Pour F, ce n’est pas possible (36 : 6 = 6 mais 27 : 6 = 4,5 n’est pas entier) ; pour G on obtient 36 : 4,5 = 8 et 27 : 4,5 = 6 ce qui correspond bien à 48 carrés ; pour H c’est évidemment possible ; pour I, il faut de nouveau travailler avec des nombres rationnels et non avec des approximations décimales pour se rendre compte que 36/(9/7) = 28 et 27/(9/7) = 21 ce qui donne bien 588 (28 x 21) carrés.
- Il ne reste alors plus qu’à vérifier les affirmations de H qui dit qu’il a obtenu 972 carrés et que le problème a 9 solutions. La première affirmation est vraie. La seconde affirmation est vraie aussi : à partir des 12 carrés les plus grands possible (de côté 9), on peut procéder systématiquement en partageant chacun d’eux en 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 et 81 carrés, pour obtenir les 9 possibilités pour les nombres totaux de carrés : 12, 48, 108, 196, 300, 432, 588, 768 et 972. (On peut aussi présenter cet inventaire au moyen d’un tableau).
- Finalement, le professeur peut accepter les réponses de G, H et I, et réfuter celle de F.
Points attribués sur 251 classes:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 103 (73%) | 22 (15%) | 12 (8%) | 4 (3%) | 1 (1%) | 142 | 0.44 |
| Cat 10 | 76 (70%) | 23 (21%) | 6 (6%) | 1 (1%) | 3 (3%) | 109 | 0.46 |
| Total | 179 (71%) | 45 (18%) | 18 (7%) | 5 (2%) | 4 (2%) | 251 | 0.45 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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