Banque de problèmes du RMT
ud217-fr
|
|
Banque de problèmes du RMTud217-fr |
|
Trouver les couples de nombres de deux chiffres dont l'écriture de leur produit est un palindrome (peut se lire de gauche à droite comme de droite à gauche): "ab" x "cd" = "dc" x "ba".
Vérifier les suppositions de la famille ROTOR sur les deux exemples donnés: 24 x 84 = 48 x 42 = 2016, 93 x 26 = 62 x 39 = 2418.
Observer les deux exemples et, en particulier, les chiffres des unités de chaque nombre (4 et 4 et 8 et 2 pour le premier exemple; 3 et 6 et 9 et 2 pour le second) et remarquer que leurs produits sont égaux (4 x 4 = 8 x 2 et 3 x 6 = 9 x 2. La même remarque est valable pour les chiffres des dizaines, qui sont les mêmes.
Passer à une analyse par décomposition des nombres en dizaines et unités, qui demande l'usage de lettres pour passer à la généralisation: (10a + b) et (10c + d) en lecture de gauche à droite, puis (10d + c) et (10b + a) en lecture de droite à gauche. Effectuer alors les produits, factorisations et regroupement nécessaires pour arriver à la conclusion que les produits des chiffres des dizaines a et c dans le premier cas, b et d dans le second, sont égaux:
(10a + b) x (10c + d) = (10d + c) x (10b + a) ==> 100ac + 10ad + 10bc + bd = 100bd + 10ad + 10bc + ac
100ac + 10(bc+ ad) + bd = 100 bd + 10(bc+ ad) + ac ==> 99 ac = 99 bd ==> ac = bd
Dresser l'inventaire des couples de nombres naturels inférieurs à 10 (qui n'unissent pas plus d'une fois le même chiffre) qui vérifient la relation précédente :
1x4 = 2x2, 1x6 = 2x3, 1x8 = 2x4, 1x9 = 3x3, 2x6 = 3x4, 2x8 = 4x4, 2x9 = 3x6, 3x8 = 4x6, 4x9 = 6x6
Ce qui conduit aux 14 palindromes suivants:
12 x 42 = 24 x 21, 12 x 63 = 36 x 21, 13 x 62 = 26 x 31, 12 x 84 = 48 x 21, 14 x 82 = 28 x 41,
13 x 93 = 39 x 31, 23 x 64 = 46 x 32, 24 x 63 = 36 x 42, 24 x 84 = 48 x 42, 23 x 96 = 69 x 32,
26 x 93 = 39 x 62, 34 x 86 = 68 x 43, 36 x 84 = 48 x 63, 46 x 96 = 69 x 64.
Les résultats n'ont pas été conservés ou ne sont pas encore disponibles.
(c) ARMT, 1999-2024