Chiffres égaux

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Rallye: 12.II.13 ; catégories: 7, 8 ; domaine: OPD
Famille:

• AMD - Additionner et multiplier des nombres décimaux

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Résumé

Trouver des nombres qui, lorsqu'il les multiplie par 12345679, ne s’écrivent qu’avec neuf chiffres 7 et une virgule éventuellement.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Vérifier qu'en multipliant 12345679 par 0,45 on obtient le nombre 5555555,55 composé de neuf chiffres 5.

- Observer qu'on obtient un nombre formé de neuf “5” aussi avec les multiplications suivantes :

  12345679 x 45 = 555555555
  12345679 x 4,5 = 55555555,5
  12345679 x 0.045 = 555555,555
  12345679 x 0,0045 = 55555,5555 
  ...
  12345679 x 0,00000045 = 5,55555555 

et qu'il n'y en a pas d'autres.

- Remarquer que, quelle que soit la position de la virgule, les nombres formés uniquement de neuf chiffres 7 sont les 7/5 des nombres formés uniquement de neuf chiffres 5. Le facteur multiplicatif de 12345679 doit donc, lui aussi, être les 7/5 de celui du facteur correspondant. Le facteur correspondant à 45 est 7/5 x 45 = 7 x 9 = 63.

- Selon ce qui a été observé précédemment, en déduire qu'il y a neuf solutions possibles :

  63 ; 6,3 ; 0,63 ; 0,063 ; 0,0063 ; 0,00063 ; 
  0,000063 ; 0,0000063 ; 0,00000063.

Ou :

- Se rendre compte que pour obtenir 7 comme chiffre des unités dans le nombre cherché, il faut multiplier le nombre 12345679 par un nombre avec 3 comme chiffres des unités ; d'après l'algorithme de la multiplication, on voit que le nombre cherché ne peut se limiter à ....3 (car 12345679 x 3 = 37037037) mais doit aussi avoir 6 comme chiffre des dizaines (6 x 9 = 54 et, avec la retenue, 3 + 4 = 7) :

- Vérifier que 12345679 x 63 = 777777777 et trouver les 8 autres solutions.

Notions mathématiques

chiffre, nombre, multiplication, division, nombre décimal, organisation d'une recherche

Résultats

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