Banca di problemi del RMT
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Osservare un rettangolo suddiviso in quattro triangoli da quattro segmenti che collegano un punto in comune all’interno del rettangolo a ciascuno dei quattro vertici. “Dimostrare” che la superficie totale dei due triangoli, la cui base è una lunghezza del rettangolo, è equivalente a quella totale degli altri due triangoli (aventi per base una dimensione del rettangolo).
Analisi a priori
Capire che comunque si scelga il punto dove mettere il palo sul terreno rettangolare, se si conducono le parallele ai lati. la parte grigia e quella bianca sono entrambe composte dagli stessi quattro triangoli A, B, C, D. (aspetto connesso alla equiscomponibilità che prescinde dalla misura)
insérer figure 1
Oppure capire che comunque si scelga il punto dove mettere il palo sul terreno rettangolare, si individuano quattro triangoli aventi a due a due come base una delle due dimensioni del rettangolo e come somma delle altezze, l'altra dimensione, per cui anche se il punto dove si mette il palo cambia, la somma delle aree (di due triangoli aventi basi uguali) non cambia
Su 60 classi della sezione SR
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 8 (22%) | 9 (25%) | 7 (19%) | 9 (25%) | 3 (8%) | 36 | 1.72 |
| Cat 8 | 1 (4%) | 3 (13%) | 3 (13%) | 7 (29%) | 10 (42%) | 24 | 2.92 |
| Totale | 9 (15%) | 12 (20%) | 10 (17%) | 16 (27%) | 13 (22%) | 60 | 2.2 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Secondo i criteri dell’analisi a priori:
Come hanno risposto gli allievi alla richiesta di giustificazione, nel caso del problema “L’eredità”?
Esempio 1: si vede figura 2
(Le parti sono veramente uguali. Abbiamo ritagliato il rettangolo della figura in vari triangoli che abbiamo disposti in modo da ottenere la stessa figura. Infine le abbiamo sovrapposte constatando che sono veramente uguali. Ciò è determinato dallo spostamento del centro.)
Esempio 2: si vede figura 3
La giustificazione è, in questo caso, del tipo di quella riportata nell’analisi del compito. Se confrontiamo i due esempi, benché le due risposte siano entrambe corrette, il livello dei due ragionamenti è concettualmente diverso. Nel primo caso, come si vede, gli allievi hanno ritagliato il rettangolo in quattro parti, due bianche e due grigie, e ricomposto le parti dello stesso colore per ottenere due quadrilateri da confrontare. Non hanno però giustificato “formalmente” l’equivalenza delle due figure. Si sono “accontentati” di una sovrapposizione, per forza di cose approssimativa. Si tratta, in effetti di una argomentazione esplicativa di tipo locale, nel senso che “funziona” in questo caso, ma non si estende alla considerazione del fatto che comunque si scelga il punto dove mettere il palo sul terreno, l’equivalenza fra le due parti non cambia. Diversa situazione è quella che vediamo nel secondo esempio, dove gli allievi giustificano in maniera formale l’equivalenza. In una seconda parte dell’elaborato, però, gli allievi, passano alle misure e calcolano le aree delle due parti… per sentirsi più sicuri.
In effetti, gli allievi di 13/14 anni si trovano spesso in una fase di passaggio dall’evidenza di una prova empirica ottenuta con un calcolo su un esempio ad una giustificazione formale (Grugnetti, 2001), (Garuti et al., 1996).
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