Banca di problemi del RMT
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Confrontare le somme dei termini di due progressioni: l’una geometrica di ragione 1/2 con 50 000 come primo termine; l’altra di tipo armonico con primo termine 30 000 per determinare se raggiungeranno 100 000.
Analisi a priori:
- Effettuare i calcoli, anno per anno
- Rendersi conto che Cirillo non potrà mai raggiungere 100000 con la sua successione (perché gli mancherà sempre la metà del numero a cui via via arriva), ma, in compenso, Antonio ci riuscirà (30000, 45000, 55000, 62500, 68500, 73500, ... , 95404, 97546, 99546, 101421 - nel 2016)
- Spiegare perché Cirillo non potrà mentre Antonio comprerà la Ferrari nel 2016
progressioni, progressioni geometriche, termine, somma, successione, limite (approccio), convergenza (approccio), divergenza (approccio)
Non disponiamo di risultati statistici per questo problema, bensì di un’ampia sperimentazione condotta dal gruppo Zeroallazero (Si veda Per andare più lontano)
A partire da questo enunciato, il Gruppo Zeroallazero ha elaborato, a suo tempo, anche una versione per le categorie 4, 5 e 6 e una versione per il triennio di scuola secondaria di secondo grado (SII) (Si veda Per andare più lontano)
Versione F1 per la scuola primaria e per la I SI
Il 1° gennaio 2005 Cirillo ha compiuto gli anni e ha ricevuto come mancia 50 euro. Da tempo desidera acquistare il modellino della Ferrari che costa 100 euro; pertanto decide di mettere da parte questa somma per l’acquisto dell’auto dei suoi sogni e di aggiungervi 25 euro l'anno successivo, 12,50 nel 2007 e così di seguito.
Egli aggiungerà ogni anno la metà della somma messa da parte l’anno precedente.
Riuscirà Cirillo ad acquistare il modellino della Ferrari? E dopo quanti anni?
Versione F3 per il triennio di SII
Antonio vuole acquistare una Ferrari che costa 100.000 euro. Decide che nel 2007 risparmierà 40.000 euro e li depositerà, nel 2008 aggiungerà la metà di questa somma, nel 2009 un terzo, nel 2010 un quarto, nel 2011 la quinta parte e così via.
Ogni anno aggiungerà dunque una somma equivalente a 40.000 diviso per il numero corrispondente al numero di depositi effettuati. Nel frattempo però la Ferrari, a causa dell’inflazione, aumenta del 3% rispetto al prezzo dell’anno precedente (tasso composto).
Antonio riuscirà ad acquistare la Ferrari? E dopo quanto tempo?
E se l’incremento fosse dello 2%? C’è un tasso massimo che permette ad Antonio, prima o poi, di acquistare la Ferrari col suo piano di risparmio?
Dove la versione originale, che era stata proposta per la categoria 8, è stata indicata con F2.
All’epoca in cui questo problema aveva fatto parte di una prova del RMT non erano contemplate le categorie 9 e 10 alle quali questa versione potrebbe essere proposta.
È stata condotta una sperimentazione e poi un’analisi didattica di queste tre versioni che si trovano pubblicate nel libretto dal titolo “Il sogno di Cirillo e la sfida della tartaruga” (Pitagora Editrice- 2009).
Qualche considerazione
Analisi comparativa dei tre enunciati: che cosa cambia dalla prima (F1) alla terza versione (F3)
F1 - Un solo personaggio per un solo acquisto, con numeri ‘piccoli’ per non demotivare o bloccare gli allievi. (Concetto matematico fondamentale: il processo di convergenza).
F2 - Due personaggi per due situazioni di acquisto differenti.
Introducendo il problema di Antonio, si permette il confronto tra due modi di procedere molto diversi (essi danno luogo a due serie diverse, e in più favoriscono la riflessione ed il confronto su due concetti matematici fondamentali: i processi di convergenza e divergenza).
Chiedendo di mostrare i calcoli si propone anche una procedura operatoria. L’eventuale uso del computer dovrebbe portare l’attenzione sulla costruzione delle due serie.
F3 - Nuovamente un solo personaggio per un solo acquisto, ma con due percentuali di aumento.
Stavolta i concetti matematici fondamentali sono tre: i processi di convergenza, divergenza ed indeterminatezza; questi processi si basano sul fatto che i ‘tempi’ sono discreti.
Inoltre si introducono oggetti matematici (discreti) che offrono modelli privilegiati per i processi sopra indicati: serie geometriche e serie armoniche.
La versione F3 del problema ha anche il pregio di far emergere il tema dell’interesse composto, tema scarsamente trattato nella scuola, e che deve invece essere rivalutato come uno dei moventi storici fondamentali per l’introduzione della funzione esponenziale. Col fatto che il prezzo non è più fisso, ma variabile, il modello diventa più complesso; in particolare, emerge la necessità di introdurre il metodo del confronto per le successioni.
Apparentemente, nel problema sembra richiesto il confronto tra una serie (discreta) e una funzione esponenziale (continua), ma della funzione esponenziale si considera qui solo una successione di valori, visto che il tempo per il calcolo dell’interesse composto viene pensato discreto. I cambiamenti dei tassi, che hanno come conseguenza una variazione dei parametri fondamentali relativi alla funzione esponenziale, conducono a risposte differenti relative alla possibile esistenza di una soluzione. Infine, con il tasso del 2% si intende mettere in evidenza come Antonio arrivi alla somma richiesta (tra il 17° e 21° anno) ma che, se non approfitta dell’istante (matematicamente corrispondente alla soluzione di un’equazione trascendente), non può più comperare. Si tratta, anche in questo caso, di un confronto sugli ordini di infinito.
Analisi del conflitto socio-cognitivo inerente il problema F: la provocazione
A partire da una situazione motivante, che di primo acchito l’allievo può pensare di risolvere effettuando dei calcoli anno per anno, ci si trova di fronte ad un fatto insolito:
a Cirillo manca sempre una cifra uguale a quella che aggiunge di volta in volta; quindi, nel corso della sua vita (che dura un tempo limitato), non potrà raggiungere i 100 o i 100.000 euro che gli sono necessari. La modalità con cui opera Cirillo è riconducibile ad una serie geometrica di ragione ½. Al contrario, Antonio ci riuscirà nel 2018, ottenendo via via (in euro): 30.000, 45.000, 55.000, 62.500, 68.500, 73.500, ... , 95.404, 97.546, 99.546, 101.421. La modalità con cui opera Antonio rimanda invece ad una serie, detta serie armonica la quale invece è divergente.
Il fatto che uno dei due personaggi, e per di più quello che, a prima vista, può sembrare maggiormente senza speranza, arrivi alla somma richiesta e l’altro no, può costituire una buona base di discussione per stabilire se i risultati conseguiti (in un caso l’acquisto non è possibile, nell’altro sì) dipendano dalla cifra coinvolta o invece, soprattutto (!), dalla strategia. Inoltre può essere una prima introduzione alla distinzione tra processi convergenti e divergenti.
Gruppo Zeroallazero (C. Bisso, S. Foglia, L. Grugnetti, A. Maffini, C. Marchini, M. Rapuano, A. Rizza, V. Vannucci, con l'apporto dell'ARMT) Il sogno di Cirillo e la sfida della tartaruga (Pitagora Editrice- 2009).
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