Musiciens, comédiens et danseurs

Identification

Rallye: 19.I.07 ; catégories: 4, 5, 6 ; domaines: OPN, LR
Familles:

• DCP - Décomposer un nombre naturel
• LO - Effectuer des déductions
• LO/NU - Effectuer des déductions avec des contraintes numériques

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Résumé

Trouver le nombre de décomposition de 20 en la somme de trois nombres a, b, c sachant que a est supérieur à b et c ; b < c ; a – b < 7.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- A la lecture du texte, comprendre que les nombres d’élèves dans les trois groupes sont ordonnés ainsi : nb. musiciens > nb. danseurs > nb. comédiens, que les trois nombres sont différents, que leur somme est 20, et qu’il y a 6 de différence, au maximum, entre le petit nombre et le grand nombre.

- Comprendre que, pour répondre à la question, il faudra rechercher « toutes les manières de répartir les élèves » c’est-à-dire dresser l’inventaire complet des décompositions de 20 selon les contraintes citées ci-dessus.

- Pour cela, on peut procéder par essais et ajustements, avec le risque de ne pas être exhaustif.

- On peut aussi organiser les décompositions de façon à ne pas en oublier. Les modes d’organisation sont nombreux. En faisant des essais sur le nombre de comédiens auquel on ajoute de 1 à 6 pour obtenir le nombre de musiciens :

• on peut éliminer l’hypothèse « 1 » comédien car on aurait de 2 à 7 musiciens et donc de 17 à 12 danseurs, ce qui contredit une des contraintes. 20 – (1 + 2) = 17, 20 – (1 + 3) = 16, … 10 – (1 + 7) = 12,
• de même, avec 2 comédiens, on aurait de 3 à 8 musiciens et donc de 15 à 10 danseurs,
• avec 3 comédiens, les essais de 4, 5, 6, 7, 8 musiciens donnent 13, 12, 11, 10, 9 danseurs mais l’essai de 9 musiciens (le maximum) donne 20 – (3 + 9) = 8 danseurs : première solution : 3 comédiens, 8 danseurs et 9 musiciens ;
• avec 4 comédiens, on obtient les solutions (4 ; 6 ; 10) et (4 ; 7 ; 9) car (4 ; 8 ; 8), (4 ; 9 ; 7) … sont à éliminer,
• avec 5 comédiens, on obtient les solutions (5 ; 6 ; 9) et (5 ; 7 ; 8) car (5 ; 11 ; 4), (5 ; 10 ; 5) … sont à éliminer,
• avec 6 comédiens, il n’y a plus de solutions car (6 ; 12 ; 2), (6 ; 11 ; 3) … (6 ; 7 ; 7) sont à éliminer.

Ou : faire l’inventaire de toutes les décompositions de 20 en somme de trois termes différents ordonnés du plus petit au plus grand (1 + 2 + 17 ; 1 + 3 + 16 ; … ; 3 + 8 + 9 ; 4 + 5 + 11 ; 4 + 6 + 10 ; 4 + 7 + 9 ; 5 + 6 + 9 et 5 + 7 + 8 et choisir celles où il n’y a pas plus de 6 de différence entre le petit et le grand terme.

- Exprimer la réponse dans le contexte donné : il y a 5 répartitions possibles (comédiens, danseurs, musiciens) : (3 ; 8 ; 9), (4 ; 6 ; 10), (4 ; 7 ; 9) (5 ; 6 ; 9) et (5 ; 7 ; 8).

Notions mathématiques

dénombrement, addition, soustraction

Résultats

19.I.07

Points attribués sur 2045 classes de 23 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Les 5 répartitions correctes (voir ci-dessus) sans autre répartition et avec une méthode apparente
• 3 points: Les 5 répartitions correctes avec, en plus, au maximum deux répartitions inexactes qui respectent cependant l’ordre et le nombre total d’élèves
  ou les 5 répartitions correctes, sans autres incorrectes, mais sans explications (au hasard, sans organisation)
  ou 4 répartitions correctes, sans répartition supplémentaire incorrecte
• 2 points: 3 ou 4 répartitions correctes avec d’autres répartitions inexactes qui respectent l’ordre et le nombre total d’élèves
  ou 3 répartitions correctes sans répartition incorrecte
  ou seulement les 2 répartitions (3 ; 8 ; 9) et (4 ; 6 ; 10) ; où les enfants ont compris « six de différence exactement » au lieu de « 6 de différence au maximum)
• 1 point: de 1 à 3 répartitions correctes avec d’autres répartitions incorrectes
• 0 point: Incompréhension du problème