Banque de problèmes du RMT
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Trouver une somme composée de pièces de 20 centimes et de 1 euro qui diminuerait de moitié si l'on remplaçait les pièces de 20 centimes par des pièces de 1 euro et vice-versa.
Analyse a priori
- Comprendre l’énoncé et les quatre données essentielles : la somme initiale est supérieure à 8 euros et inférieure à 10 euros, composée de pièces de 1 euro et de pièces de 20 centimes ; la somme finale est égale à la moitié de la somme initiale, composée de manière inversée entre pièces de 1 € et pièces de 20 centimes.
- Procéder par essais (systématiques ou non) de nombre de pièces de 1 € et de 20 centimes donnant une somme comprise entre 8 et 10 €, inverser la composition des pièces et vérifier si la somme obtenue représente bien la moitié de la somme initiale
Ou, procéder par essais de nombre de pièces de 1 € et de 20 centimes donnant une somme entre 4 et 5 euros ; inverser la composition des pièces et vérifier si la somme obtenue représente bien le double de la somme finale.
Ou, procéder par essais à partir de la somme initiale en se limitant à considérer les cas où une telle somme et sa moitié peuvent s’exprimer avec des pièces de 1 euro ou 20 centimes (en excluant des sommes comme 9,90 ou 9,80). Il reste quatre possibilités: 8,40 ; 8,80 ; 9,20 et 9,60. Se rendre compte que seules 9,60 et sa moitié, 4,80, peuvent être obtenues en intervertissant les nombres de pièces (9 de 1 € et 3 de 20 centimes deviennent 3 de 1 € et 9 de 20 centimes).
(Si l’on se rend compte que la somme obtenue après inversion des pièces est inférieure à 5 € on en déduit qu’elle est formée au plus de 5 pièces de 1 € et la somme initiale contient donc au plus 5 pièces de 20 c (soit 1 €). Elle contient donc au moins 7 pièces de 1 €. Il y a alors peu d’essais à faire dans les procédures ci-dessus.)
Ou : mettre le problème en équation : si x et y désignent respectivement les nombres (entiers) de pièces de 1 € et de 20 centimes, on aboutit à : 8 < x + 0,2 y < 10 et x + 0,2y = 2(y + 0,2x), ce qui conduit à x = 3y.
puis, par essais systématiques constater que parmi les quatre couples (3 , 1) ; (6 , 2) ; (9 , 3) ; (12 , 4), seul le troisième est à envisager car il conduit à une somme de 9,60 €.
addition, multiplication, équivalence, équation
Points attribués sur 2202 classes de 22 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 529 (58%) | 132 (15%) | 85 (9%) | 110 (12%) | 52 (6%) | 908 | 0.93 |
| Cat 7 | 375 (50%) | 85 (11%) | 88 (12%) | 150 (20%) | 59 (8%) | 757 | 1.25 |
| Cat 8 | 189 (35%) | 51 (9%) | 73 (14%) | 123 (23%) | 101 (19%) | 537 | 1.81 |
| Total | 1093 (50%) | 268 (12%) | 246 (11%) | 383 (17%) | 212 (10%) | 2202 | 1.25 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
D’après un problème proposé dans « La mathématique vivante », Perelman, CEDIC, 1975.
(c) ARMT, 2011-2024