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Rallye: 19.I.13 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaine: OPN
Famille:

MUL - Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver un nombre dont on connaît les restes des divisions euclidiennes par 2, 3, 5 et 7.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Comprendre que, comme il s’agit d’un nombre élevé d’objets, il est improductif de travailler par manipulation ou dessins, et qu’il est préférable de recourir à des écritures de nombres et de relations numériques.

- Trouver une méthode d’élimination ou de choix qui évite d’effectuer trop de divisions et de calculs de restes. Par exemple :

Retenir les nombres qui se terminent par 3 et 8 (parce que leur reste est 3 dans une division par 5) ; éliminer les nombres pairs (le reste est 1 dans une division des nombres cherchés par 2) et conclure que les nombres cherchés se termineront par 3. Ne retenir que les multiples de 3 (troisième condition) et se limiter à examiner seulement 1323, 1353, 1383, 1413, 1443 et 1473. Parmi ceux-ci, vérifier ceux dont le reste est 4 dans une division par 7 et trouver que seul 1383 satisfait cette condition. (1383 = 197 x 7 + 4)

Ou : écrire les multiples de 7 augmentés de 4 de 1300 à 1500, (1306, 1313, 1320, …), éliminer les nombres pairs et ne retenir que ceux qui se terminent par 3 (1313, 1383, 1453) pour ne conserver que 1383 qui est multiple de 3.

Notions mathématiques

divisibilité, numération, multiple commun

Résultats

19.I.13

Points attribués sur 2197 classes de 22 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 6	618 (68%)	175 (19%)	54 (6%)	26 (3%)	30 (3%)	903	0.53
Cat 7	412 (54%)	168 (22%)	86 (11%)	36 (5%)	54 (7%)	756	0.88
Cat 8	200 (37%)	139 (26%)	92 (17%)	38 (7%)	69 (13%)	538	1.33
Total	1230 (56%)	482 (22%)	232 (11%)	100 (5%)	153 (7%)	2197	0.85
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Réponse correcte (1383) avec les détails d’une recherche systématique (qui montre l’unicité de la solution)
3 points: Réponse correcte avec les détails d’une recherche non exhaustive (sans être sûr de l’unicité de la solution)
2 points: Réponse correcte sans explication ou détails ou avec seulement une vérification
ou une erreur de calcul avec les détails d’une recherche systématique
1 point: Début de recherche, non systématique
0 point: Incompréhension du problème

Banque de problèmes du RMT