Banque de problèmes du RMT
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Déterminer si un jeu à deux joueurs où l'on gagne ou perd des billes en fonction des points obtenus lors d'un lancer de dé est équitable ou non.
Analyse a priori
- À partir des deux propositions, de Pierre et de Jean respectivement, se rendre compte que le gain de Pierre de 6 billes (ou de 5 billes) en cas de « double » vaut 6 fois (ou 2,5 fois) le gain de Jean de 1 bille (ou de 2 billes) lorsque les dés donnent des nombres différents. Il faut donc, pour que le jeu soit « équitable », ou pour « compenser », que Jean gagne plus souvent que Pierre.
- Penser alors, comme le suggèrent les commentaires de Pierre et de Jean, qu’il faut estimer les gains de chacun des deux joueurs lorsqu’ils jouent un grand nombre de parties, sachant que Jean doit gagner plus souvent que Pierre.
- Déterminer alors le nombre de lancers de dés favorables à l’un et à l’autre des joueurs : comprendre que quand on lance deux dés, on peut obtenir 36 paires différentes. (La combinaison de chacun des 6 nombres d’un dé avec les 6 nombres de l’autre dé peut être visualisée par un tableau de 6 x 6, par un diagramme en arbre, par une liste de toutes les paires …).
- Éventuellement, il faudra surmonter l’obstacle (ou la tentation) de compter deux tirages « symétriques » comme (5 , 6) et (6 , 5) pour un seul et même tirage. La confusion dans ce comptage conduit à 21 paires : (1 , 1), (1 , 2), … (1 , 6), (2 , 2), (2 , 3) … (2 , 6), (3 , 3), … (5 , 6), (6 , 6).
- Observer qu’il y a 6 « doubles » parmi les 36 paires possibles. Pierre a donc 6 tirages favorables sur 36 et Jean en a 30 sur 36.
- Estimer les gains « espérés »de chacun des joueurs sur 36 parties, en supposant que chaque tirage a « la même chance » d’apparaître (ou qu’on pourra répéter les 36 parties de très nombreuses fois) :
Dans les deux cas, l’estimation montre que le jeu n’est pas équitable.
- Pour rendre le jeu équitable, il faut que Jean et Pierre puissent espérer des gains égaux de billes. Par exemple, en remplaçant 6 par X, le jeu proposé par Pierre devient « X contre 1 ». Sur 36 parties, on obtient : 6 x X = 30 x 1 (billes) d’où X = 5. Jean devrait donner 5 billes à Pierre en cas de « double » contre une 1 bille que Jean recevrait de Pierre (dans les 30 autres cas).
Les rapports « 10 contre 2 », « 15 contre 3 » … proportionnels à « 5 contre 1 » sont aussi acceptables.
En cas de confusion dans le dénombrement des tirages possibles (21 au lieu de 36), 6 seraient favorables à Pierre et 15 seulement à Jean. L’espérance des gains sur 21 parties serait la même pour les deux joueurs : 6 x 5 = 30 (billes) pour Pierre et 15 x 2 = 30 (billes) pour Jean.
Points attribués sur 225 classes de 11 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 48 (37%) | 15 (12%) | 13 (10%) | 31 (24%) | 22 (17%) | 129 | 1.72 |
| Cat 10 | 37 (39%) | 11 (11%) | 9 (9%) | 19 (20%) | 20 (21%) | 96 | 1.73 |
| Total | 85 (38%) | 26 (12%) | 22 (10%) | 50 (22%) | 42 (19%) | 225 | 1.72 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
(c) ARMT, 2011-2024