Les terrains de jeu

Identification

Rallye: 19.II.04 ; catégories: 3, 4 ; domaine: GM
Familles:

• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres

Remarque et suggestion

Résumé

Calculer le périmètre d'un rectangle formé de la juxtaposition d'un carré de 20 m de périmètre et d'un rectangle de 40 m de périmètre

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Reconnaître dans le dessin la situation décrite dans le texte, repérer les rubans, correspondant au carré et au rectangle donné (ou les colorier) ; « voir » le rectangle composé des deux polygones précédents, distinguer les six point donnés et tous les segments dont ils sont les extrémités.

- Reconnaître les relations numériques entre les longueurs des segments découlant des propriétés du carré et du rectangle : quatre segments, LU, UC, CA et AL sont de même longueur (carré) ainsi que IN (rectangle) , IL et AN sont de même longueur (rectangle). La longueur de UI et de CN sera la somme des longueurs de UL et LI et respectivement de CA et AN (rectangle et addition de longueurs).

- Passer à la détermination des longueurs (et écarter l’idée que le périmètre d’une figure composée est la somme des périmètres des figures qui la composent) : le côté du carré est 5 m (20 : 4 = 5) ; en déduire que la largeur du rectangle LINA est aussi 5, et calculer sa longueur par la relation 2 × (5 + …) = 40 ou (40 – 5 – 5) : 2 = 15 ; enfin déterminer la longueur du grand rectangle (5 + 15 = 20) et en déduire son périmètre 2 × (5 + 20) = 50.

Une autre possibilité est de calculer la somme des périmètres de LUCA et LINA et de soustraire deux fois fois la longueur de LA soit : 20 + 40 – 10 = 50 en m.

La mesure directe des côtés sur le dessin ne peut aboutir à une réponse correcte vu que les figures ne sont pas à l’échelle

Notions mathématiques

carré, rectangle, périmètre

Résultats

19.II.04

Points attribués, sur 760 classes de 17 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (50 mètres) avec des explications claires
• 3 points: Réponse correcte avec des explications incomplètes ou peu claires
• 2 points: Réponse correcte sans explication, ou réponse 55 m obtenue par la méthode 2, en enlevant 1 seule fois la longueur de LA
• 1 point: Début de raisonnement (par exemple: calcul correct du côté du carré, ou réponse à partir de mesures sur le dessin…)
• 0 point: Incompréhension du problème ou réponse 60 obtenue par addition (20 + 40)

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Relevés sur environ 250 copies des sections de BB, GE, PG, SI, PU, SS, UD.

L’erreur prévue : l’addition des périmètres du carré et du rectangle donnés 20 + 40) s’est retrouvée dans environ un quart des copies examinées. Il reste cependant beaucoup d’autres erreurs ou incompréhensions qui semblent relever de la difficulté à analyser les différents éléments du dessin proposé. Pour comprendre ce que signifie le « périmètre » du carré et celui du rectangle donnés, il faut « décoder » cette expression et la décomposer en longueurs de quatre segments puis en somme de ces quatre segments.

Pour le carré, une partie des élèves ont déjà acquis un automatisme au cours de pratique scolaires précédentes : celui de la division par 4 (20 : 4 = 5, en cm). Pour le rectangle, ils doivent premièrement constater qu’une de se dimensions est déjà donnée puisqu’on connaît la longueur d’une de ses « largeurs », celle qui est commune à l’un des côtés du carré ; puis ils doivent savoir que la mesure de l’autre « largeur » est égale à celle de la première en raison des propriétés du rectangle ; et finalement effectuer la suite d’opérations 40 – 5 – 5 = 30 puis 30 : 2 = 15.

Pour déterminer la périmètre de l’assemblage des deux figures, il faut visuellement identifier les segments qui composent le « ruban vert », savoir que les différentes mesures de leurs longueurs ont été calculées précédemment et les additionner.

Selon les copies examinées, une majorité d’élèves de catégories 3 et 4 n’ont pas encore une maîtrise suffisante de l’observation des polygones, de leur décomposition en segments, des propriétés géométriques et numériques associés au carré, au rectangle, au périmètre.

Autres types d’erreurs relevées à part celle de l’addition des deux périmètres déjà mentionnée : 20 + 40 = 60

- 20 cm est considéré comme la longueur du côté du carré et 40 cm la longueur du rectangle

- Prise de mesures à la règle des côtés sur le dessin

- Soustraction d’un seul côté de 5 cm à la somme des deux périmètres 20 et 50

- Division par quatre du périmètre du rectangle pour trouver la mesure de sa longueur

- Solution 40 + 40 + 20 + 20

Les deux procédures mentionnées dans la rubrique « tâche de résolution et savoirs mobilisés » qui conduisent à la réponse correcte apparaissent dans 30 % des cas, parfois avec erreurs de calcul (la première dans 20 % des cas, la seconde dans 10 % des cas) :

- la détermination de la longueur du côté du carré (20 : 4 = 5) , puis de la longueur du rectangle (40 – 5 – 5) : 2 = 15, puis de la longueur de grand rectangle ou ruban vert (5 + 15 = 20) puis du périmètre du grand rectangle ou longueur du ruban vert 2(20 + 5) = 50

- l’addition des deux périmètres donnés puis la soustraction des deux segments figurant deux fois (30 + 40 – 10 = 50.

Voir aussi Trois photos sur une page (27.II.04)

Exploitations didactiques

Vu que la majorité des groupes ayant cherché à résoudre le problème dans les conditions de passation des épreuves du RMT ont échoué, il faut envisager de modifier ces conditions. Par exemple proposer le problème par groupes mais organiser une mise en commun intermédiaire après une dizaine de minutes de recherche, au cours de laquelle les différents groupe peuvent donner leurs interprétations du dessin et une explicitation des segments qui constituent le périmètre, pour chacune des trois figures.

Ce sont les élèves et non l’enseignant qui doivent évoquer la décomposition des périmètres en segments. L’enseignant peut alors rappeler la suggestion de colorier les deux rubans à la règle (non graduée) afin de favoriser la prise de conscience qu’il faut quatre segments de chaque couleur pour constituer le périmètre du carré comme du rectangle.

Lors d’une éventuelle nouvelle mise en commun, l’enseignant peut proposer à chaque groupe de vérifier sa solution en dessinant le carré de 20 cm de pourtour (au lieu de 20 m) et le rectangle de 40 cm (au lieu de 40 m) sur une feuille quadrillée (pour faciliter la construction des angles droits). Là encore, la construction côté après côté fait prendre conscience que le périmètre est constitué de quatre segments et que sa longueur est la somme des quatre longueurs des segments.

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