Banca di problemi del RMT
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Calcolare il perimetro di un rettangolo formato dall’accostamento di un quadrato di perimetro 20 m e un rettangolo di perimetro 40 m.
- Riconoscere nel disegno la situazione descritta nel testo, identificare i nastri corrispondenti al quadrato e al rettangolo dati (o colorarli); “vedere”il rettangolo composto dai due poligoni precedenti, distinguere i sei punti dati e tutti i segmenti dei quali essi sono le estremità.
- Riconoscere le relazioni numeriche tra le lunghezze dei segmenti derivanti dalle proprietà del quadrato e del rettangolo: quattro segmenti, LU, UC, CA e AL hanno la stessa lunghezza (quadrato) cosi come IN (rettangolo), IL e AN sono della stessa lunghezza ( rettangolo). La lunghezza di UI e CN sarà la somma delle lunghezze di UL e LI e rispettivamente di CA e AN (rettangolo e addizione di lunghezze).
- Procedere alla determinazione delle lunghezze (e scartare l'idea che il perimetro di una figura composta sia la somma dei perimetri delle figure che lo compongono):
- il lato del quadrato è 5 m (20 : 4 = 5);
- dedurre che anche la larghezza del rettangolo LINA è 5 e calcolare la sua lunghezza dalla relazione 2 × (5 + …) = 40 o (40 – 5 – 5) : 2 = 15;
- infine determinare la lunghezza del rettangolo grande (5 + 15 = 20) e dedurne il perimetro 2 × (5 + 20) = 50.
Un'altra possibilità è calcolare la somma dei perimetri di LUCA e LINA e sottrarre due volte la lunghezza di LA: 20 + 40 – 10 = 50 in m.
La misurazione diretta dei lati sul disegno non può portare a una risposta corretta poiché le figure non sono in scala
quadrato, rettangolo, perimetro
Su 760 classi di 17 sezioni ,
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 222 (62%) | 21 (6%) | 10 (3%) | 33 (9%) | 72 (20%) | 358 | 1.2 |
| Cat 4 | 185 (46%) | 35 (9%) | 21 (5%) | 51 (13%) | 110 (27%) | 402 | 1.67 |
| Totale | 407 (54%) | 56 (7%) | 31 (4%) | 84 (11%) | 182 (24%) | 760 | 1.44 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Secondo i criteri dell’analisi a priori:
Rilevazioni su circa 250 elaborati delle sezioni di BB, GE, PG, SI, PU, SS, UD.
L'errore previsto: l'addizione dei perimetri dati del quadrato e del rettangolo (20 + 40) è stata trovata in circa un quarto degli elaborati esaminati. Tuttavia, ci sono ancora molti altri errori o incomprensioni che sembrano derivare dalla difficoltà di analizzare i diversi elementi del disegno proposto. Per capire cosa si intende per "perimetro" del quadrato dato e quello del rettangolo, è necessario "decodificare" questa espressione e scomporla in lunghezze di quattro segmenti, quindi in somma di questi quattro segmenti.
Per il quadrato, una parte degli alunni ha già acquisito un automatismo durante le pratiche scolastiche precedenti: quello della divisione per 4 (20 : 4 = 5, in cm). Per il rettangolo, occorre prima rendersi conto che una delle sue dimensioni è già indicata poiché si conosce la lunghezza di una delle sue "larghezze", quella che è comune a uno dei lati del quadrato; quindi gli allievi dovrebbero sapere che la misura dell'altra "larghezza" è uguale a quella della prima per le proprietà del rettangolo; e infine eseguire la sequenza di operazioni 40 – 5 – 5 = 30 quindi 30 : 2 = 15.
Per determinare il perimetro delle due figure accostate, è necessario identificare visivamente i segmenti che compongono il "nastro verde", sapere che le diverse misure della loro lunghezza sono state calcolate in precedenza e sommarle.
Secondo gli elaborati esaminati, la maggior parte degli alunni delle categorie 3 e 4 non ha ancora una padronanza sufficiente dell'osservazione dei poligoni, della loro scomposizione in segmenti, delle proprietà geometriche e numeriche associate al quadrato, al rettangolo, al perimetro.
Altri tipi di errori rilevati oltre a quello dell'addizione dei due perimetri già citato: 20 + 40 = 60
- 20 cm è considerata la lunghezza del lato del quadrato e 40 cm la lunghezza del rettangolo
- Misurazione dei lati, sul disegno, con il righello graduato
- Sottrazione di un solo lato di 5 cm dalla somma dei due perimetri 20 e 50
- Divisione per quattro del perimetro del rettangolo per trovare la misura della sua lunghezza
- Soluzione 40 + 40 + 20 + 20
Le due procedure menzionate nella rubrica "compito di risoluzione e conoscenze mobilitate" che portano alla risposta corretta compaiono nel 30% dei casi, a volte con errori di calcolo (la prima nel 20% dei casi, la seconda nel 10% dei casi):
- la determinazione della lunghezza del lato del quadrato (20 : 4 = 5), poi della lunghezza del rettangolo (40 – 5 – 5) : 2 = 15, quindi della lunghezza del rettangolo grande o del nastro verde (5 + 15 = 20) e infine del perimetro del rettangolo grande o la lunghezza del nastro verde 2 (2 + 5) = 50
- l'addizione dei due perimetri indicati quindi la sottrazione dei due segmenti che compaiono due volte (30 + 40 – 10 = 50.
Vedi anche Tre foto su una pagina (27.II.04)
Poiché la maggior parte dei gruppi che ha cercato di risolvere il problema nelle condizioni di somministrazione delle prove del RMT ha fallito, occorre prendere in considerazione la modifica di queste condizioni. Ad esempio proporre il problema a gruppi ma organizzando, dopo una decina di minuti di ricerca, una messa in comune durante la quale i diversi gruppi possano dare le loro interpretazioni del disegno e una spiegazione dei segmenti che costituiscono il perimetro, per ciascuna delle tre figure.
Sono gli allievi e non l'insegnante che devono discutere la scomposizione dei perimetri in segmenti. L'insegnante può ricordare il suggerimento di colorare i due nastri utilizzando il righello (non graduato) al fine di promuovere la consapevolezza che sono necessari quattro segmenti di ciascun colore per costituire il perimetro del quadrato come del rettangolo.
Durante una possibile nuova messa in comune, l'insegnante può suggerire a ciascun gruppo di verificare la propria soluzione disegnando il quadrato di 20 cm di contorno (anziché 20 m) e il rettangolo di 40 cm (anziché 40 m) su un foglio quadrettato (per facilitare la costruzione di angoli retti). Anche in questo caso, la costruzione lato dopo lato fa prendere coscienza del fatto che il perimetro è composto da quattro segmenti e che la sua lunghezza è la somma delle quattro lunghezze dei segmenti.
(c) ARMT, 2011-2024