Banque de problèmes du RMT
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Trouver le nombre de produits différents qui s'obtiennent dans les tables de multiplication de 2 à 9.
Analyse a priori
- On peut organiser un tableau avec toutes les tables de multiplication avec la colonne du 2, du 3, ... ; on observe que dans la colonne de la table de multiplication du 2 il y a 8 multiplications à apprendre, dans celle du 3 il y a seulement 7 nouvelles multiplications, dans celle du 4 il y en a 6, et ainsi de suite jusqu'à celle du 9 où il y a seulement 9 x 9 à retenir. Donc, il n’y a à retenir pour toutes les multiplications que 36 d’entre elles : 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36.
Ou bien : en excluant les tables de multiplication du 1 et du 10, observer qu’il y a 8 produits pour 8 tables de multiplication et donc 64 résultats au total. Il faut enlever pour chaque table de multiplication les produits qui se retrouvent dans les autres tables. Ainsi on doit enlever 7 produits pour la table du 2 (tous à l'exception de 2 × 2), 6 pour la table du 3 (tous à l'exception de 3 × 2 et de 3 × 3), 5 pour la table du 4, 4 pour la table du 5, 3 pour celle du 6, 2 pour celle du 7 et 1 pour celle du 8 ; dans celle du 9 on les garde tous. On trouve donc, avec des soustractions successives, qu’il y a en tout 36 multiplications différentes à retenir.
Ou bien : observer que pour chaque table de multiplication, en excluant celles du 1 et du 10, il y a 8 produits qui ne se répètent pas (2 × 2, 3 × 3, 4 × 4, ... 9 × 9). Pour les autres, il y a 7 produits dans chaque table de multiplication qui paraissent deux fois, il y en a donc en tout 7 × 8 = 56, mais en réalité 56 : 2 = 28 à retenir ; en additionnant ce résultat, 28, à celui des produits uniques, 8, on obtient 28 + 8 = 36 multiplications à retenir.
multiplication, commutativité, dénombrement
Points attribués, sur 1355 classes de 17 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 201 (56%) | 63 (18%) | 4 (1%) | 10 (3%) | 80 (22%) | 358 | 1.18 |
| Cat 4 | 201 (43%) | 105 (22%) | 11 (2%) | 22 (5%) | 128 (27%) | 467 | 1.51 |
| Cat 5 | 182 (34%) | 117 (22%) | 9 (2%) | 24 (5%) | 198 (37%) | 530 | 1.88 |
| Total | 584 (43%) | 285 (21%) | 24 (2%) | 56 (4%) | 406 (30%) | 1355 | 1.57 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
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