Le parcours

Identification

Rallye: 19.F.13 ; catégories: 6, 7, 8, 9 ; domaine: OPZ
Familles:

• ADZ - Additionner des nombres entiers relatifs
• DCP - Décomposer un nombre naturel

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Résumé

Dans le cadre d'un jeu de parcours constituer une suite rester sur place (0), reculer de 3 cases (-3), avancer de 5 cases dont les sommes successives sont toujours positives ou nulles et déterminer combien de 0 sont dans la suite si avec 13 termes, le total est 9.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Comprendre les règles du jeu et la situation de Roberto : en 13 lancers, il n’a pas été éliminé, a avancé de 9 cases par des déplacements de 5 vers l‘avant, de 3 vers l’arrière et/ou des cas où il est resté immobile.

- Se rendre compte que, au niveau mathématique, on doit obtenir le nombre 9 (9 cases vers l’avant) comme différence d’un multiple de 5 (m5) et d’un multiple de 3 (m3) (C’est-à-dire 9 = m5 -- m3). Faire quelques essais mentalement pour comprendre que, parmi les multiples de 5 : 5, 10, 15, 20, 25, … , certains valent 9 de plus qu’un multiple de 3 (comme 15, 30, 45, …) et d’autres non, comme 5, 10, 20, 25, 35, 40 … Il ne faudra donc examiner que les cas 15, 30, 45 … correspondants à 3, 6, 9, … déplacements de 5 cases vers l’avant (« +5 »):

• avec 3 « +5 », il faut 2 « - 3 » et 8 « 0 » car 3 x 5 – 2 x 3 = 9 et 3 + 2 + 8 = 13
• avec 6 « +5 », il faut 7 « - 3 » et 0 « 0 » car 6 x 5 – 7 x 3 = 9 et 6 + 7 + 0 = 13

au-delà de 6, le nombre de déplacements dépassera 13.

Il y a donc deux possibilités comme réponse à la question : le « 3 » est sorti 8 fois ou 0 fois :

Ou : travailler par essais organisés, avec des listes, inventaires, … (si les essais ne sont pas organisés, on trouvera aussi les deux solutions mais sans savoir qu’elles sont les seules).

Ou : par algèbre, noter par a, b, c, les nombres de fois qu’on obtient respectivement un nombre plus grand que 3, un nombre plus petit que 3 et le nombre 3, puis poser le système :

  5a – 3b = 9
  a + b + c = 13, 

Ce système doit être résolu dans l’ensemble des nombres naturels. Si, par exemple, on multiplie la deuxième équation par 3 et on soustrait la première, on réduit le système à l’équation : 8a + 3c = 48. dont les solutions (a ; c), avec a > 0, sont (3 ; 8) et (7 ; 0), correspondant aux deux possibilités de réponse à la question : le « 3 » est sorti 8 fois ou 0 fois.

Notions mathématiques

addition, soustraction, multiplication, nombre relatif, système linéaire

Résultats

19.F.13

Points attribués sur 183 classes:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (les deux possibilités 0 ou 8) avec des explications complètes sur la procédure suivie : calculs ou représentations exhaustifs
• 3 points: Réponse correcte avec des explications incomplètes :calculs ou représentation qui ne permettent pas d’établir clairement la procédure suivie ni l’exhaustivité des solutions
• 2 points: Réponse correcte sans explication
  ou organisation correcte du problème qui aboutit à une seule solution bien expliquée
• 1 point: Début d’une recherche cohérente, ou une seule réponse sans explication
• 0 point: Incompréhension du problème