Banque de problèmes du RMT
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Dans le cadre d'un jeu de parcours constituer une suite rester sur place (0), reculer de 3 cases (-3), avancer de 5 cases dont les sommes successives sont toujours positives ou nulles et déterminer combien de 0 sont dans la suite si avec 13 termes, le total est 9.
Analyse a priori
- Comprendre les règles du jeu et la situation de Roberto : en 13 lancers, il n’a pas été éliminé, a avancé de 9 cases par des déplacements de 5 vers l‘avant, de 3 vers l’arrière et/ou des cas où il est resté immobile.
- Se rendre compte que, au niveau mathématique, on doit obtenir le nombre 9 (9 cases vers l’avant) comme différence d’un multiple de 5 (m5) et d’un multiple de 3 (m3) (C’est-à-dire 9 = m5 -- m3). Faire quelques essais mentalement pour comprendre que, parmi les multiples de 5 : 5, 10, 15, 20, 25, … , certains valent 9 de plus qu’un multiple de 3 (comme 15, 30, 45, …) et d’autres non, comme 5, 10, 20, 25, 35, 40 … Il ne faudra donc examiner que les cas 15, 30, 45 … correspondants à 3, 6, 9, … déplacements de 5 cases vers l’avant (« +5 »):
au-delà de 6, le nombre de déplacements dépassera 13.
Il y a donc deux possibilités comme réponse à la question : le « 3 » est sorti 8 fois ou 0 fois :
Ou : travailler par essais organisés, avec des listes, inventaires, … (si les essais ne sont pas organisés, on trouvera aussi les deux solutions mais sans savoir qu’elles sont les seules).
Ou : par algèbre, noter par a, b, c, les nombres de fois qu’on obtient respectivement un nombre plus grand que 3, un nombre plus petit que 3 et le nombre 3, puis poser le système :
5a – 3b = 9 a + b + c = 13,
Ce système doit être résolu dans l’ensemble des nombres naturels. Si, par exemple, on multiplie la deuxième équation par 3 et on soustrait la première, on réduit le système à l’équation : 8a + 3c = 48. dont les solutions (a ; c), avec a > 0, sont (3 ; 8) et (7 ; 0), correspondant aux deux possibilités de réponse à la question : le « 3 » est sorti 8 fois ou 0 fois.
addition, soustraction, multiplication, nombre relatif, système linéaire
Points attribués sur 183 classes:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 10 (18%) | 11 (20%) | 16 (29%) | 10 (18%) | 9 (16%) | 56 | 1.95 |
| Cat 7 | 8 (15%) | 12 (22%) | 17 (31%) | 4 (7%) | 13 (24%) | 54 | 2.04 |
| Cat 8 | 4 (8%) | 4 (8%) | 13 (25%) | 13 (25%) | 17 (33%) | 51 | 2.69 |
| Cat 9 | 3 (14%) | 3 (14%) | 4 (18%) | 3 (14%) | 9 (41%) | 22 | 2.55 |
| Total | 25 (14%) | 30 (16%) | 50 (27%) | 30 (16%) | 48 (26%) | 183 | 2.25 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
(c) ARMT, 2011-2024