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La cave de Transalpie

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Rallye: 19.F.18 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaine: AL
Familles:

Résumé

Trouver un produit de deux nombres tel que si l’on ajoute 1 au premier facteur et soustrait 10 du deuxième facteur ou si l’on ajoute 3 au premier facteur et soustrait 25 du deuxième facteur, le produit reste le même.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre qu'au début le nombre de bouteilles est le même dans chaque casier, puis que le nombre de casiers de vins d’Italie diminue à chaque livraison alors que le nombre de bouteilles par casier augmente, mais que le nombre total de bouteilles de vins d’Italie reste constant.

- Introduire des inconnues en notant, par exemple par x, le nombre des casiers et par y le nombre de bouteilles de vin d’Italie par casier. Remarquer que le produit xy est égal au nombre de bouteilles de vins d’Italie.

- Mettre en équation les deux conditions du problème :

après la deuxième livraison il reste x − 10 casiers avec y + 1 bouteilles chacune et, puisqu’il y a toujours autant de bouteilles de vins d’Italie, on a (x − 10)(y + 1) = xy ;
après la troisième livraison, il reste (x − 10) − 15 = x − 25 casiers disponibles pour le vin d’Italie, avec y + 3 bouteilles dans chacun, on a donc (x − 25)(y + 3) = xy.

- Pour trouver la réponse, après réduction, il faut donc résoudre ce système des deux équations à deux inconnues :

  x − 10y − 10 = 0
  3x − 25y − 75 = 0

dont la solution est le couple ordonné (100, 9). Il y a au départ 100 casiers et 9 bouteilles par casier ; il y a donc 900 bouteilles de vin d’Italie.

(Il y a beaucoup d’autres choix des inconnues qui conduisent tous à la résolution d’un système du même genre.)

Ou bien:

Au niveau arithmétique, on peut effectuer pas à pas les échanges avec une seule hypothèse sur le nombre de bouteilles par casier initial et trouver, par essais successifs les répartitions qui conservent le nombre de bouteilles.

Par exemple, s’il y a 2 bouteilles par casier initial, il y aura 20 bouteilles transférées (de dix casiers) une à une dans 20 casiers après la première répartition, ce qui veut dire qu’il y avait 30 casiers initialement et 60 bouteilles. Après la deuxième répartition, il ne restera que 5 (20 – 15) casiers contenant chacun 5 (3 + 2) bouteilles et l’hypothèse est à rejeter car on arriverait à 25 bouteilles après le deuxième échange II.

Conclure qu’il y a au départ 900 bouteilles de vin d’Italie.

Notions mathématiques

calcul littéral, système d’équations

Résultats

19.F.18

Points attribués sur 92 classes:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 8	40 (78%)	7 (14%)	1 (2%)	1 (2%)	2 (4%)	51	0.39
Cat 9	13 (59%)	1 (5%)	0 (0%)	3 (14%)	5 (23%)	22	1.36
Cat 10	12 (63%)	2 (11%)	0 (0%)	0 (0%)	5 (26%)	19	1.16
Total	65 (71%)	10 (11%)	1 (1%)	4 (4%)	12 (13%)	92	0.78
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Réponse correcte (900 bouteilles de vins d’Italie) avec une procédure claire et détaillée (c’est-à-dire avec les répartitions successives)
3 points: Réponse correcte avec une procédure pas clairement expliquée
2 points: Réponse erronée à cause d'une erreur de calcul, mais avec des explications claires
ou écriture correcte d’un système, mais solution erronée à cause d'erreurs algébriques
ou réponse correcte sans explications
1 point: Début de raisonnement correct qui montre une compréhension de la situation (par exemple un inventaire organisé correctement mais qui n’arrive pas à la conclusion, confusions entre nombre de casiers ou nombre de bouteilles par casier … )
0 point: Incompréhension du problème

Banque de problèmes du RMT