Le code de Toni

Identification

Rallye: 19.F.19 ; catégories: 9, 10 ; domaines: NU, OPN, LR
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• CO - Chercher des arrangements ou des combinaisons
• VP - Gérer la valeur positionnelle d'un code

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Résumé

Trouver un nombre de 3 chiffres différents non nuls tel que si l'on additionne tous les nombres de 2 chiffres que l’on peut former avec les trois chiffres donnés et que l’on multiplie cette somme par 2, on retrouve exactement le nombres.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Se rendre compte que la tâche essentielle est de trouver qu’il y a 6 nombres de deux chiffres que l’on peut former avec trois chiffres donnés ; mais qu’il y a beaucoup de combinaisons possibles pour les trois chiffres donnés et qu’il faudra du temps pour organiser les essais.

- Algébriquement, à partir de trois chiffres, dans l’ordre a, b et c, le code est 100a + 10b + c et la somme des six nombres de deux chiffres est:

  (10a+b) + (10a+c) + (10b+a) + (10b+c) + (10c+a) + (10c+b) = 22(a+b+c)

ce qui conduit à l’équation 44(a+b+c) = 100a + 10b + c, dont la seule solution, avec a, b, c naturels et inférieurs à 10, est (7 ; 9 ; 2).

Mais la pose de cette équation comme sa résolution ne sont vraisemblablement pas accessibles aux élèves en 50 minutes.

- Par des essais successifs organisés et nombreux, en s’aidant de la calculatrice, on peut se convaincre peu à peu que le nombre cherché est pair, puis multiple de 4, puis multiple de 11 et par conséquent multiple de 44.

Par exemple, avec les nombres 123 et 438:

  12  13  21  23  31  32 ;  
  (12 + 21) + (13 + 31) + (23 + 32) = 33 + 44 + 55 = 132 ;   2 x 132 = 264

  43  48  34  38  83  84 ;  
  (38 + 83) + (34 + 43) + (48 + 84) = 121 + 77 + 132 = 330 ; 2 x 330 = 660

- Rechercher les multiples de 44 à trois chiffres distincts non nuls compris au sens large entre 264 et 999 :

  264 ; 352 ; 396 ; 528 ; 572 ; 748 ; 792 ; 836 ; 924 ; 968. 

- Pour ces dix nombres, contrôler la condition de Toni. Sur les deux exemples précédents, on voit que la condition n’est pas remplie : 123 ≠ 264 (et ni pour les cinq autres nombres 132, 213, 231, 312, 321) ni pour 438 ≠ 660.

Un seul des nombres remplit la condition : 792 (et non 729, 279, 297, 927, 972) :

  27  29  72  79  92  97; 
  (27 + 72) + (29 + 92) + (79 + 97) = 99 + 121 + 176 = 396  2 x 396 = 792

Notions mathématiques

numération

Résultats

19.F.19

Points attribués sur 45 classes:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse exacte : 792, avec une explication claire qui montre que tous les essais ont été effectués, et une vérification
• 3 points: Réponse exacte : 792, l’exhaustivité n’étant pas établie, mais avec une vérification
• 2 points: Une démarche qui comprend l’élaboration de la condition de Toni sous la forme algébrique 44(a+b+c) ou qui pose l’équation 44(a+b+c) = 100a + 10b + c, mais sans aller plus loin
  ou découverte que le nombre est un multiple de 44 avec justifications, mais sans aller plus loin
• 1 point: Plusieurs essais organisés où apparaissent les six nombres de deux chiffres, mais sans trouver la solution
• 0 point: Incompréhension du problème