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Banque de problèmes du RMTud314-fr |
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Trouver un nombre de 3 chiffres différents non nuls tel que si l'on additionne tous les nombres de 2 chiffres que l’on peut former avec les trois chiffres donnés et que l’on multiplie cette somme par 2, on retrouve exactement le nombres.
Analyse a priori
- Se rendre compte que la tâche essentielle est de trouver qu’il y a 6 nombres de deux chiffres que l’on peut former avec trois chiffres donnés ; mais qu’il y a beaucoup de combinaisons possibles pour les trois chiffres donnés et qu’il faudra du temps pour organiser les essais.
- Algébriquement, à partir de trois chiffres, dans l’ordre a, b et c, le code est 100a + 10b + c et la somme des six nombres de deux chiffres est:
(10a+b) + (10a+c) + (10b+a) + (10b+c) + (10c+a) + (10c+b) = 22(a+b+c)
ce qui conduit à l’équation 44(a+b+c) = 100a + 10b + c, dont la seule solution, avec a, b, c naturels et inférieurs à 10, est (7 ; 9 ; 2).
Mais la pose de cette équation comme sa résolution ne sont vraisemblablement pas accessibles aux élèves en 50 minutes.
- Par des essais successifs organisés et nombreux, en s’aidant de la calculatrice, on peut se convaincre peu à peu que le nombre cherché est pair, puis multiple de 4, puis multiple de 11 et par conséquent multiple de 44.
Par exemple, avec les nombres 123 et 438:
12 13 21 23 31 32 ; (12 + 21) + (13 + 31) + (23 + 32) = 33 + 44 + 55 = 132 ; 2 x 132 = 264
43 48 34 38 83 84 ; (38 + 83) + (34 + 43) + (48 + 84) = 121 + 77 + 132 = 330 ; 2 x 330 = 660
- Rechercher les multiples de 44 à trois chiffres distincts non nuls compris au sens large entre 264 et 999 :
264 ; 352 ; 396 ; 528 ; 572 ; 748 ; 792 ; 836 ; 924 ; 968.
- Pour ces dix nombres, contrôler la condition de Toni. Sur les deux exemples précédents, on voit que la condition n’est pas remplie : 123 ≠ 264 (et ni pour les cinq autres nombres 132, 213, 231, 312, 321) ni pour 438 ≠ 660.
Un seul des nombres remplit la condition : 792 (et non 729, 279, 297, 927, 972) :
27 29 72 79 92 97; (27 + 72) + (29 + 92) + (79 + 97) = 99 + 121 + 176 = 396 2 x 396 = 792
numération
Points attribués sur 45 classes:
Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
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Cat 9 | 11 (46%) | 3 (13%) | 2 (8%) | 4 (17%) | 4 (17%) | 24 | 1.46 |
Cat 10 | 9 (43%) | 1 (5%) | 3 (14%) | 3 (14%) | 5 (24%) | 21 | 1.71 |
Total | 20 (44%) | 4 (9%) | 5 (11%) | 7 (16%) | 9 (20%) | 45 | 1.58 |
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. |
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