Carrés et disques

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Rallye: 19.F.20 ; catégorie: 10 ; domaines: GP, GM
Familles:

• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres
• SF - Etudier des suites de figures

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Résumé

On inscrit un carré de 1 cm de côté dans un disque, lui-même inscrit dans un carré, etc. Trouver le nombre de carrés à construire pour que l'aire du dernier arrive à dépasser 1 ha.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Observer la construction des carré qui se suivent : chaque carré a comme côté le diamètre du cercle inscrit qui est aussi la diagonale du carré précédent.

- Appliquer le théorème de Pythagore et en déduire que le deuxième carré a comme longueur du côté cm, comme aire 2 cm², que le troisième a 2 cm de côté et 4 cm² d’aire,

ou imaginer une simple rotation d’un quart de tour du petit carré qui montre qu’il vaut la moitié du suivant. et comprendre que chaque aire est le double de celle précédente et qu’on peut les exprimer ainsi : 2⁰, 2¹, 2², …

- Comprendre qu’on doit chercher la première puissance de 2 supérieure a 100 000 000 (qui correspond en cm² a 1 hm²), par essais ou en s’aidant de la calculatrice, on trouve 2²⁷.

- En observant que l’aire du n ème carré est 2^n-1, comprendre qu’il faudra construire 28 carrés. Le côté du 28e carré, d’aire 2²⁷ (en cm²) est √2²⁷ ≈ 11585 (en cm). (Une décomposition de 2²⁷ en 2²⁶ x 2 donne √2²⁷ = 2¹³ √2 = 8192 √2. Selon l’approximation choisie pour √2 on pourra admettre à la rigueur des réponses entre 11400 et 11600.

Notions mathématiques

carré, diagonale, disque, Pythagore, progression géométrique, calcul littéral, figure inscrite, aire

Résultats

19.F.20

Points attribués sur 21 classes:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponses correctes (28 carrés à construire, la mesure du côté de ce carré est √227 ou 213√2, ou une approximation située entre 11400 et 11600, en cm) avec justification
• 3 points: Réponses correctes avec justification incomplète
  ou seulement la réponse 28e carré avec justification
  ou deux réponses correctes mais relatives au 27e carré et 8192 cm ou au 29e carré et 16384 cm
• 2 points: Raisonnement correct avec la succession des puissance de deux mais quelques erreurs de calcul
  ou seulement la réponse 28e carré sans justification
  ou deux réponses relatives au 27e carré ou au 29e carré sans justifications
• 1 point: Début de résolution correcte
  ou la succession des puissances de 2, mais erreurs dans la conversion d’unités (de cm à hm)
• 0 point: Incompréhension du problème