De bas en haut par les escaliers

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Rallye: 20.II.10 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaine: OPN
Famille:

• DCP - Décomposer un nombre naturel

Remarque et suggestion

Résumé

Obtenir 132 comme combinaison linéaire de 13 et 16.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori 

- Se rendre compte qu’il faut additionner les marches franchies, qu’elles soient descendues ou montées.

- Comprendre qu'il faut obtenir 132 en additionnant plusieurs fois 13 et 16.

- Observer éventuellement que, puisque 13 est impair, il faudra l’utiliser un nombre pair de fois et donc que 132 devra être obtenu en additionnant plusieurs fois 26 et 16.

- Observer encore, éventuellement, qu'au premier déplacement d’Élise, celle-ci doit nécessairement descendre 16 marches et que le problème revient à chercher une décomposition de 116 (= 132–16) comme somme de termes 26 et 16.

- Procéder par essais plus ou moins organisées. Une procédure systématique assure l'exhaustivité. Par exemple avec un raisonnement du type :

Combien de fois Élise est-elle allée à la cuisine ?

0 fois ? Non, car 116 n’est pas divisible par 16.

1 fois ? Non, car 116 – 26 = 90 qui n’est pas divisible par 16.

2 fois ? Oui, car 116 – 2 × 26 = 64 qui est divisible par 16 (64 : 16 = 4)

3 fois ? Non, car 116 – 3 × 26 = 38 qui n’est pas divisible par 16.

4 fois ? Non, car 116 – 4 × 26 = 12 qui est inférieur à 16.

- Conclure qu’Élise se trouve dans le séjour.

Ou bien, considérer qu'avec 13 + 16 = 29 marches, Élise va de sa chambre à la cuisine et constater qu'avec 132 marches elle peut avoir fait 4 fois (132 : 29) ce parcours (en se retrouvant donc à nouveau dans sa chambre) et descendre encore 16 marches par lesquels elle arrive dans le séjour.

Ou bien, procéder par essais inorganisés.

Notions mathématiques

arithmétique, entier naturel, multiple, parité

Résultats

20.II.10

Points attribués sur 2127 copies de 24 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (dans le séjour) avec des explications claires de la procédure suivie qui garantissent l’exhaustivité
• 3 points: Réponse correcte avec une procédure par essais sans exhaustivité
  ou bien procédure correcte qui permette de déterminer combien de fois elle franchit les 13 marches, et combien de fois les 16, sans préciser dans quelle pièce Élise se trouve à la fin
• 2 points: Procédure correcte, mais une erreur de calcul qui ne permet pas d’arriver à la bonne réponse
• 1 point: Début de recherche cohérente (par exemple tenant compte du fait que pour passer d'une pièce à l'autre et revenir à celle du départ, il faut additionner deux fois le nombre de marches qui les séparent)
  ou réponse correcte sans explication
• 0 point: Incompréhension du problème

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