L’héritage de Venceslas

Identification

Rallye: 20.II.13 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaine: OPN
Famille:

• DCP - Décomposer un nombre naturel

Remarque et suggestion

Résumé

Résoudre l'équivalent du système 6x+4y+z = 50 ; x+y+z=11 sachant que les inconnues sont des nombres entiers supérieurs à 1.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori :

- Repérer les données essentielles (11 personnes de 3 catégories doivent se partager 50 millions en parts de 6, 4 ou 1millions) et les transcrire dans le domaine numérique.

- La somme des trois nombres de personnes (a fils, b filles et c petits-enfants) de chaque catégorie est égale à 11 (a + b + c = 11).

- Le nombre 50 (l’héritage) doit être exprimé comme la somme de 11 termes égaux à 6, 4 ou 1, qui peuvent être regroupés en multiples de 6, 4 et 1 (6a + 4b + c = 50).

- Comprendre que l’usage des pluriels dans l’énoncé indique que le roi a au moins deux fils, deux filles et deux petits-enfants.

- Noter éventuellement que le nombre c de petits-enfants est pair, car il doit être égal à 50 – 6a – 4b. En déduire que le nombre de fils ou de filles est impair, car le nombre total des héritiers est 11.

- Observer que le nombre a de fils est inférieur à 7, sinon ils auraient à eux seuls au moins 42 millions d’écus et il resterait au plus 8 millions d’écus qui ne suffiraient pas pour deux filles et deux petits-enfants.

- Comprendre que la solution du problème passe par un inventaire des répartitions possibles des 11 héritiers en trois catégories, avec à chaque fois une vérification du total des parts qui doit être 50 (ou par la recherche des solutions entières du système des deux équations écrites ci-dessus).

- Faire des essais au hasard qui peuvent aboutir à la solution sans être certain de son unicité, ou organiser l’inventaire de manière systématique (en s’aidant de traces écrites sous la forme de listes ou de tableaux). L’organisation la plus économique est de considérer en premier lieu les parts des fils (de 6 millions) pour lesquelles les possibilités sont les moins nombreuses, de calculer ce qui reste pour les parts des filles et petits-enfants (4 et 1 millions) puis de vérifier s’il est décomposable en un nombre donné de multiples de 4 et de 1.

- Exemple, parmi les 11 multiples de 6 à considérer, éliminer 66, 60, 54, qui sont supérieurs à 50, puis 48 (reste 2 qui ne permet pas d’obtenir une part de 4) ; puis 42 = 6 x 7 (reste 8, qui ne permet pas quatre parts de 4 et 1). Une première solution est 36 = 6 x 6 (reste 14 ce qui permet de faire 5 parts pour les 3 filles et les 2 petits-enfants ou 3 x 4 + 2 x 1). Les autres multiples de 6 sont aussi à éliminer : 30 = 6 x 5, reste 20, impossible à répartir en 6 parts de 4 et 1 ; 24 = 6 x 4, reste 26, impossible à répartir en 7 parts de 4 et 1 ; 18 = 6 x 3, reste 32, impossible à répartir en 8 parts de 4 et 1, etc.

- Vérifier en tout cas l’unicité de la solution : 6 fils, 3 filles et 2 petits-enfants.

Il y a évidemment de multiples manières d’organiser l’inventaire systématique et d’en conserver des traces, qui demandent toutes des décompositions de 50 en sommes de multiples de 6, 4 et 1, et d’économiser des vérifications (par exemple en considérant seulement les quatre nombres possibles de petits-enfants, qui doivent être pairs : 2, 4, 6, 8 et les décompositions correspondantes de 48, 46, 44 et 42 en sommes d’un nombre déterminé de multiples de 4 et de 6).

Ou bien, par l’algèbre il y a également des nombreuses manières de trouver les solutions entières (supérieures ou égales à 2) du système d'équations du premier degré à 3 inconnues : a + b + c = 11 et 6a + 4b + c = 50.

Par exemple, après avoir observé que a < 7, procéder en attribuant a successivement les valeurs 6, 5, ...2, résoudre à chaque fois le système des deux équations obtenues avec les inconnues b et constater que l'unique solution acceptable est a = 6, b = 3 et c = 2.

Notions mathématiques

opération, entier naturel, système d’équations

Résultats

20.II.13

Points attribués sur 1507 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte et complète (6 fils, 3 filles, 2 petits-enfants) avec explications détaillées du raisonnement qui mette en évidence qu’il n’existe pas d’autres solutions
• 3 points: Réponse correcte avec des explications incomplètes qui ne garantissent pas l’unicité de la solution
• 2 points: Réponse correcte sans explication ou avec seulement une vérification
• 1 point: Début de recherche cohérente
• 0 point: Incompréhension du problème

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