L'eredita' di Venceslao

Identificazione

Rally: 20.II.13 ; categorie: 7, 8, 9, 10 ; ambito: OPN
Famiglia:

• DCP - Scomporre un numero naturale

Remarque et suggestion

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Individuare i dati essenziali (11 persone di 3 categorie devono suddividersi 50 milioni di scudi in parti da 6, 4 o 1 milioni) e trascriverli in ambito numerico:

- la somma dei tre numeri degli individui di ogni categoria (a figli, b figlie e c nipotini) è uguale a 11 (a + b + c = 11);

- il numero 50 (l’eredità) è da esprimere come somma di 11 termini, ciascuno uguale a 6, 4 o 1, che possono essere raggruppati in multipli di 6, 4 e 1 (6a + 4b + c = 50).

- Capire che l’uso del plurale nell’enunciato indica che il re ha almeno due figli, due figlie e due nipotini.

- Notare eventualmente che il numero c dei nipotini è pari perché deve essere uguale a 50 – 6a – 4b. Dedurne che il numero dei figli o delle figlie è dispari perché il numero totale dei discendenti è11.

- Osservare che il numero a dei figli è inferiore a 7, altrimenti questi avrebbero almeno 42 milioni di scudi e ne resterebbero al più 8 milioni, non sufficienti per due figlie e due nipotini.

- Comprendere che la soluzione del problema passa attraverso un inventario di ripartizioni possibili degli 11 eredi in tre categorie, con la verifica ogni volta che il totale delle parti dell’eredità deve essere 50 (o attraverso la ricerca delle soluzioni intere del sistema delle due equazioni sopra indicate).

- Fare dei tentativi a caso che possono portare alla soluzione senza essere certi della sua unicità, od organizzare l’inventario in modo sistematico (aiutandosi con tracce scritte sottoforma di liste o tabelle). L’organizzazione più economica è di considerare in primo luogo le parti dei figli (di 6 milioni) per le quali le possibilità sono meno numerose, di calcolare ciò che resta per le parti delle figlie e dei nipotini (4 e 1 milioni), poi di verificare se è scomponibile in un dato numero di multipli di 4 e di 1.

- Esempio, tra gli 11 multipli di 6 da considerare, eliminare 66, 60, 54, che sono superiori a 50, poi 48 (resta 2 che non permette di otte-nere una parte di 4); poi 42 = 6 x 7 (resta 8, che non permette quattro parti di 4 e 1). Una prima soluzione è 36 = 6 x 6 (resta 14 che permette 5 parti per 3 figlie e 2 nipotini, o 3 x 4 + 2 x 1). Anche gli altri multipli di 6 sono da eliminare: 30 = 6 x 5, resta 20, non divi-sibile in 6 parti di 4 e 1; 24 = 6 x 4, resta 26, non divisibile in 7 parti di 4 e 1; 18 = 6 x 3, resta 32, non divisibile in 8 parti di 4 e 1...

- Verificare in ogni caso l’unicità della soluzione: 6 figli, 3 figlie e 2 nipotini.

Ci sono naturalmente molti modi di organizzare l’inventario sistematico e di conservarne tracce che richiedono tutti di scomporre 50 in somme di multipli di 6, 4 e 1 e di economizzare le verifiche (per esempio considerando solo i quattro numeri possibili per i nipotini, che devono essere pari (2, 4, 6, 8) e le scomposizioni corrispondenti di 48, 46, 44 e 42 in somme di un numero determinato di multipli di 4 e di 6).

Oppure, se si segue la procedura algebrica ci sono ugualmente numerosi modi di trovare le soluzioni intere ( maggiori o uguali a 2) del sistema di equazioni di primo grado a 3 incognite: a + b + c = 11 e 6a + 4b + c = 50.

Per esempio, dopo avere osservato che a < 7, procedere attribuendo ad a successivamente i valori 6, 5, … ,2 , risolvere ogni volta il sistema di due equazioni nelle incognite b e c che si ottiene e constatare che l’unica soluzione accettabile è a=6, b = 3 e c = 2.

Risultati

20.II.13

Su 1507 classi di 20 sezioni partecipanti alla prova 2 del 20° RMT,

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta e completa (6 figli, 3 figlie, 2 nipotini) con spiegazione dettagliata del ragionamento che mette in evidenza che non esistono altre soluzioni
• 3 punti: Risposta corretta con spiegazione incompleta che non garantisce l’unicità della soluzione
• 2 punti: Risposta corretta senza spiegazione o con solo verifica
• 1 punto: Inizio corretto di ricerca
• 0 punto: Incomprensione del problema

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