Piastrellatura geometrica

Identificazione

Rally: 20.II.17 ; categorie: 9, 10 ; ambiti: GP, GM
Famiglie:

• IF - Identificare figure
• RD - Ricercare o utilizzare dimensioni
• RD/AP - Determinare aree e/o perimetri

Remarque et suggestion

Sunto

Un quadrato è costituito da due famiglie di 4 triangoli e da un quadrato centrale il cui lato misura 20 cm. 4 triangoli equilateri sono uniti al quadrato centrale e 3 triangoli isosceli formano il bordo. Trovare l'area formata da ciascuna delle famiglie di triangoli.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori :

- Calcolare l’area di un triangolo equilatero di lato c = 20 cm, determinando la sua altezza

• o con la formula nota : $c \times \sqrt{3}/2$
• o applicando il teorema di Pitagora sulla metà di un triangolo di lato $c$: il quadrato della sua altezza è uguale a$c^2–c^2/4 = 3c^2/4$.

L’area del triangolo equilatero è il semi-prodotto della sua base $c$ per la sua altezza $c \times \sqrt{3}/2$, cioè $(c^2/4)\sqrt{3} = 100 \sqrt{3} \approx 173,20$ in cm².

- Concludere che la misura dell’area ricoperta dai quattro triangoli bianchi è $400 \sqrt{3} \approx 692,82$ cm².

- Per trovare l’area della piastrella, occorre giustificare che la sua forma è quadrata.

Nel disegno della piastrella si riconoscono 4 assi di simmetria costituiti dalle diagonali e dalle mediane del quadrato piccolo grigio. Queste mediane sono le diagonali della piastrella: esse sono perpendicolari, si incontrano nel loro punto di mezzo e sono della stessa lunghezza. Il disegno della piastrella è quindi un quadrato.

- Per trovare la misura dell’area di tale quadrato, si può determinare la lunghezza di una diagonale formata da un lato del quadrato piccolo e da due altezze di triangoli equilateri. Si ottiene: $c + c\sqrt{3} = c (1+\sqrt{3})$.

- L’area del quadrato grande è dunque : $(c2/2) \times (1 + \sqrt{3})^2$.

- L’area del bordo scuro è allora data dalla differenza (area del quadrato grande – area della stella):

$(c^2/2) \times (1 + \sqrt{3})^2 – (c^2 + 4(c^2/4) \sqrt{3})$

$= (c^2/2) \times(1 + \sqrt{3})2 – c^2(1 + \sqrt{3}) = (c^2/2) \times (1 + \sqrt{3})[(1 + \sqrt{3}) – 2]$

$= (c^2/2) \times (1 + \sqrt{3})(\sqrt{3}-1) = c^2 = 400$ cm2.

Nozioni matematiche

quadrato, simmetria, triangolo isoscele, area, triangolo equilatero 

Risultati

22.II.17

Su 212 classi di 8 sezioni partecipanti alla prova 2 del 20° RMT,

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Le due misure corrette (400 o 692,82; 400) in cm², con giustificazione chiara e completa
• 3 punti: Le due misure corrette con spiegazioni insufficienti ma che mostrano un procedimento corretto per trovare la misura dell’area della piastrella
  oppure le due misure con spiegazioni chiare ma con un errore di calcolo
• 2 punti: L’area della parte bianca calcolata correttamente e giustificata
• 1 punto: Inizio corretto di ricerca per l’area dei triangoli bianchi
• 0 punto: Determinata solo l’area del quadrato centrale o incomprensione del problema

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