Le nombre magique

Identification

Rallye: 20.II.18 ; catégories: 9, 10 ; domaines: OPN, NU
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• VP - Gérer la valeur positionnelle d'un code

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Résumé

Trouver les nombres de 3 chiffres qui multipliés par 143 donnent un nombre de cinq chiffres avec un zéro à la place centrale et avec deux nombres égaux situés à la gauche et à la droite du zéro.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori :

- Comprendre que, pour trouver d’autres nombres on peut diviser par 143 les produits du type n0n, où n est un nombre de deux chiffres. Par exemple 17017 : 143 = 119, 15015 : 143 = 105, 14014 : 143 = 98, mais 98 n’est pas à trois chiffres et doit donc être écarté.

- Comprendre que cette procédure est très longue, parce que n peut varier de 10 à 99. Il serait donc bien de comprendre de quelle propriété jouissent les nombres cherchés.

- Observer que 21, 49, 112, 147 sont multiples de 7 et comprendre qu’il faut vérifier cette conjecture. Il faut donc rechercher les nombres a tels que 143 a = n0n = 1001n, donc a = (1001/143) n = 7n

Donc les nombres à rechercher sont tous les multiples de 7, avec n compris entre 15 et 99 pour obtenir des nombres de trois chiffres ; il y en a cinq dans la première dizaine et dix dans toutes les autres. Il y a donc 5 + 8 × 10 = 85 nombres cherchés.

Ou bien : en notant x et y les deux chiffres du nombre n avec x ≠ 0, le produit peut s’écrire sous la forme polynomiale :

10000 x + 1000 y + 10 x + y = 10010 x + 1001 y. Reconnaître que 10010 et 1001 sont multiples de 143 respectivement par 70 et 7, donc le produit peut s’écrire 143 × (70 x + 7y) ou encore 143 × 7 × (10 x + y).

Les nombres cherchés sont donc tous les multiples de 7 de trois chiffres tels que 100 < 7 × (10 x + y) < 1000,

ou encore  100/7 < (10 x + y) < 1000/7, ainsi (10 x + y) est un nombre naturel de deux chiffres plus grand que 14.

Alors pour x = 1, y varie de 5 à 9, on obtient cinq multiples de 7 (7 × 15, 7 × 16, 7 × 17, 7 × 18, 7 × 19), pour x = 2 on obtient dix multiples de 7 (7 × 20, 7 × 21,… 7 × 29) et ainsi de suite jusqu’aux dix multiples qu’on obtient pour x = 9 (7 × 90, 7 × 91,… 7 × 99). Il y a donc 5 + 8 × 10 = 85 nombres cherchés.

Ou bien : désigner par n le nombre à deux chiffres situé à gauche et à droite du résultat à cinq chiffres ayant un 0 à la place centrale. Ce nombre n0n est donc égal à (1001) n qui doit être un multiple de 143. Or 1001 = 7 × 143, on en déduit que les nombres à trois chiffres de la forme 7n sont les nombres cherchés.

- Les nombres n à deux chiffres qui multipliés par 7 donnent des nombres à trois chiffres sont les entiers de 15 à 99 (7 × 14 = 98 et 7 × 99 = 693. Marco a donc pu trouver 85 nombres, de 105 à 693, tous multiples de 7.

Notions mathématiques

numération de position, calcul littéral

Résultats

20.II.18

Points attribués sur 212 classes de 8 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (85 nombres) avec des explications claires
• 3 points: Réponse correcte (85 nombres) avec des explications incomplètes ou déduction que les nombres sont multiples de 7 seulement à partir de quelques exemples
• 2 points: Réponse comprise entre 80 et 90 à cause d’une erreur de comptage, mais procédure correcte
• 1 point: Début de recherche pertinente
• 0 point: Incompréhension du problème ou seulement la donnée de quelques exemples