Banca di problemi del RMT
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Il numero magicoIdentificazioneRally: 20.II.18 ; categorie: 9, 10 ; ambiti: OPN, NUFamiglie:
Envoyer une remarque ou une suggestion SuntoTrovare i numeri di 3 cifre che moltiplicati per 143 danno un numero di cinque cifre con uno zero nel posto centrale e con due cifre uguali situate a sinistra e a destra dello zero. Enunciato Compito per la risoluzione e saperi mobilizzatiAnalisi a priori- Comprendere che, per trovare altri numeri, si può dividere per 143 i prodotti del tipo n0n, dove n indica un numero di due cifre. Per esempio 17017 : 143 = 119, 15015 : 143 = 105, 14014 : 143 = 98, ma 98 non è di tre cifre e quindi va scartato. - Rendersi conto che la procedura precedente è molto lunga perché n può variare da 10 a 99 e che quindi sarebbe bene capire di quale proprietà godono i numeri cercati. - Osservare che 21, 49, 112, 147 sono multipli di 7 e comprendere che occorre verificare tale congettura. - Occorre dunque ricercare i numeri a tali che 143a = n0n = 1001×n, ovvero a = (1001/143) n = 7n . - Quindi i numeri da ricercare sono tutti i multipli di 7, con n strettamente compreso fra 15 e 99 per ottenere numeri di tre cifre; essi sono cinque nella prima decina e dieci in tutte le altre, cioè i numeri cercati sono 5 + 8 × 10 = 85. Oppure: indicate con x e y le due cifre del numero n con x ≠ 0, il prodotto in forma polinomiale è : 10000x + 1000y + 10x + y = 10010 x + 1001y . Riconoscere che 10010 e 1001 sono multipli di 143 rispettivamente secondo 70 e 7, dunque il prodotto si può scrivere come 143 × (70x + 7y) e anche 143 × 7 × (10x + y). Il numero di tre cifre è dunque un multiplo di 7 a partire da 7 × 10 = 70 (infatti 143 × 70 =10010, 143 × 77 = 11011,…). I numeri cercati sono dunque tutti i multipli di 7 di tre cifre tali che 100 < 7 × (10 x + y) < 1000 da cui 100/7 < (10x + y) < 1000/7, cioè (10x + y) è un numero naturale di due cifre maggiore di 14. Allora per x = 1, y varia da 5 a 9 e dunque si ottengono cinque multipli di 7 (7×15, 7×16, 7×17, 7×18, 7×19), per x =2 si ottengono dieci multipli di 7 (7×20, 7×21,…, 7×29) e così via fino ai dieci multipli che si ottengono per x = 9 (7 × 90, 7 × 91, …7 × 99). I numeri cercati sono quindi 5 + 8 × 10 = 85. Oppure, indicare con n il numero a due cifre situato a sinistra e a destra del risultato a cinque cifre avente uno 0 al posto centrale. Questo numero n0n è quindi uguale a (1001) n che deve essere un multiplo di 143. Da 1001 = 7 × 143, si deduce che i numeri a tre cifre della forma 7n sono i numeri cercati. I numeri n a due cifre che moltiplicati per 7 danno un numero di tre cifre sono gli interi da 15 a 99 (7 × 14 = 98 e 7 × 99 = 693). Marco ha quindi potuto trovare 85 numeri, da 105 a 693, tutti multipli di 7. Risultati20.II.18Su 212 classi di 8 sezioni partecipanti alla prova 2 del 20° RMT,
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