Banca di problemi del RMT
ud326-it
|
|
Banca di problemi del RMTud326-it |
|
Trovare i numeri di 3 cifre che moltiplicati per 143 danno un numero di cinque cifre con uno zero nel posto centrale e con due cifre uguali situate a sinistra e a destra dello zero.
- Comprendere che, per trovare altri numeri, si può dividere per 143 i prodotti del tipo n0n, dove n indica un numero di due cifre. Per esempio 17017 : 143 = 119, 15015 : 143 = 105, 14014 : 143 = 98, ma 98 non è di tre cifre e quindi va scartato.
- Rendersi conto che la procedura precedente è molto lunga perché n può variare da 10 a 99 e che quindi sarebbe bene capire di quale proprietà godono i numeri cercati.
- Osservare che 21, 49, 112, 147 sono multipli di 7 e comprendere che occorre verificare tale congettura.
- Occorre dunque ricercare i numeri a tali che 143a = n0n = 1001×n, ovvero a = (1001/143) n = 7n .
- Quindi i numeri da ricercare sono tutti i multipli di 7, con n strettamente compreso fra 15 e 99 per ottenere numeri di tre cifre; essi sono cinque nella prima decina e dieci in tutte le altre, cioè i numeri cercati sono 5 + 8 × 10 = 85.
Oppure: indicate con x e y le due cifre del numero n con x ≠ 0, il prodotto in forma polinomiale è :
10000x + 1000y + 10x + y = 10010 x + 1001y .
Riconoscere che 10010 e 1001 sono multipli di 143 rispettivamente secondo 70 e 7, dunque il prodotto si può scrivere come 143 × (70x + 7y) e anche 143 × 7 × (10x + y).
Il numero di tre cifre è dunque un multiplo di 7 a partire da 7 × 10 = 70 (infatti 143 × 70 =10010, 143 × 77 = 11011,…).
I numeri cercati sono dunque tutti i multipli di 7 di tre cifre tali che 100 < 7 × (10 x + y) < 1000 da cui 100/7 < (10x + y) < 1000/7, cioè (10x + y) è un numero naturale di due cifre maggiore di 14.
Allora per x = 1, y varia da 5 a 9 e dunque si ottengono cinque multipli di 7 (7×15, 7×16, 7×17, 7×18, 7×19), per x =2 si ottengono dieci multipli di 7 (7×20, 7×21,…, 7×29) e così via fino ai dieci multipli che si ottengono per x = 9 (7 × 90, 7 × 91, …7 × 99). I numeri cercati sono quindi 5 + 8 × 10 = 85.
Oppure, indicare con n il numero a due cifre situato a sinistra e a destra del risultato a cinque cifre avente uno 0 al posto centrale. Questo numero n0n è quindi uguale a (1001) n che deve essere un multiplo di 143. Da 1001 = 7 × 143, si deduce che i numeri a tre cifre della forma 7n sono i numeri cercati.
I numeri n a due cifre che moltiplicati per 7 danno un numero di tre cifre sono gli interi da 15 a 99 (7 × 14 = 98 e 7 × 99 = 693). Marco ha quindi potuto trovare 85 numeri, da 105 a 693, tutti multipli di 7.
Su 212 classi di 8 sezioni partecipanti alla prova 2 del 20° RMT,
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 40 (30%) | 43 (32%) | 24 (18%) | 17 (13%) | 10 (7%) | 134 | 1.36 |
| Cat 10 | 18 (23%) | 21 (27%) | 15 (19%) | 20 (26%) | 4 (5%) | 78 | 1.63 |
| Totale | 58 (27%) | 64 (30%) | 39 (18%) | 37 (17%) | 14 (7%) | 212 | 1.46 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
(c) ARMT, 2012-2024