Le relais de Transalpie

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Rallye: 20.F.11 ; catégories: 5, 6, 7, 8 ; domaine: OPN
Familles:

• DCP - Décomposer un nombre naturel
• PRG - Traiter des progressions
• PRG/PA - Traiter des progressions arithmétiques

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Résumé

Déterminer toutes les séries de nombres entiers consécutifs dont la somme est 99.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Transcrire la situation au niveau mathématique : il s’agit de trouver des décompositions de 99 en sommes de nombres naturels consécutifs et de se demander pour quels nombres de termes elles existent.

- La solution en deux termes, 49 + 50 = 99, est possible et facile à trouver, par exemple à partir de 50 (moitié de 100), la solution en trois termes, 32 + 33 + 34 est donnée, pour quatre termes, on peut travailler par approximations successives ou en partant directement de nombres proches de 25 (quart de 100) : 23 + 24 + 25 + 26 = 98 est trop petit, 24 + 25 + 26 + 27 = 102 est trop grand et il faut conclure qu’il ne peut pas y avoir d’équipes de quatre coureurs d’équipes,

pour cinq termes, il n’y a pas non plus de solution ; on trouve en revanche une solution en six termes, en neuf termes et en onze termes. Au total, il y a 5 décompositions de 99 en sommes de nombres naturels consécutifs et donc 5 possibilités pour la formation des équipes :

  2 coureurs : 49 + 50 = 99       
  3 coureurs : 32 + 33 + 34 = 99  
  6 coureurs : 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 =  = 99
  9 coureurs : 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 99
  11 coureurs: 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 99

- De nombreuses autres procédures permettent de trouver les cinq décompositions, mais font appel à une maîtrise plus élevée des propriétés des opérations. Par exemple : partir des sommes des premiers nombres naturels 1 + 2 = 3 ; 1 + 2 + 3 = 6 ; 1 + 2 + 3 + 4 = 10, etc, les soustraire de 99 et voir si la différence est un multiple de 2, de 3, de 4, etc ; ou constater que tous les nombres impairs sont la somme de deux nombres consécutifs, que les multiples de 3, 5, 7, … sont la somme respectivement de 3, 5, 7, … nombres consécutifs, etc.

Notions mathématiques

opération, décomposition d’un nombre, nombre consécutif

Résultats

20.F.11

Points attribués sur 202 copies de 17 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Les 5 compositions d’équipes différentes (ou 4 sans mentionner celle de l’énoncé) avec les distances parcourues par chaque coureur et aucune composition incorrecte
• 3 points: 4 compositions d’équipes différentes (ou 3 sans mentionner celle de l’énoncé) avec les distances parcourues par chaque coureur et aucune composition incorrecte
• 2 points: 3 compositions d’équipes différentes (ou 2 sans mentionner celle de l’énoncé) avec les distances parcourues par chaque coureur et aucune composition incorrecte
  ou les 5 compositions d’équipes différentes mais avec au maximum deux autres incorrectes
• 1 point: 1 ou 2 compositions d’équipes différentes (autres que celle de l’énoncé) avec les distances parcourues par chaque coureur et aucune composition incorrecte
  ou 3 ou 4 compositions d’équipes différentes mais avec au maximum trois autres incorrectes
• 0 point: Incompréhension du problème