Banque de problèmes du RMT
ud333-fr
|
|
Banque de problèmes du RMTud333-fr |
|
Déterminer toutes les séries de nombres entiers consécutifs dont la somme est 99.
Analyse a priori
- Transcrire la situation au niveau mathématique : il s’agit de trouver des décompositions de 99 en sommes de nombres naturels consécutifs et de se demander pour quels nombres de termes elles existent.
- La solution en deux termes, 49 + 50 = 99, est possible et facile à trouver, par exemple à partir de 50 (moitié de 100), la solution en trois termes, 32 + 33 + 34 est donnée, pour quatre termes, on peut travailler par approximations successives ou en partant directement de nombres proches de 25 (quart de 100) : 23 + 24 + 25 + 26 = 98 est trop petit, 24 + 25 + 26 + 27 = 102 est trop grand et il faut conclure qu’il ne peut pas y avoir d’équipes de quatre coureurs d’équipes,
pour cinq termes, il n’y a pas non plus de solution ; on trouve en revanche une solution en six termes, en neuf termes et en onze termes. Au total, il y a 5 décompositions de 99 en sommes de nombres naturels consécutifs et donc 5 possibilités pour la formation des équipes :
2 coureurs : 49 + 50 = 99 3 coureurs : 32 + 33 + 34 = 99 6 coureurs : 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 = = 99 9 coureurs : 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 99 11 coureurs: 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 99
- De nombreuses autres procédures permettent de trouver les cinq décompositions, mais font appel à une maîtrise plus élevée des propriétés des opérations. Par exemple : partir des sommes des premiers nombres naturels 1 + 2 = 3 ; 1 + 2 + 3 = 6 ; 1 + 2 + 3 + 4 = 10, etc, les soustraire de 99 et voir si la différence est un multiple de 2, de 3, de 4, etc ; ou constater que tous les nombres impairs sont la somme de deux nombres consécutifs, que les multiples de 3, 5, 7, … sont la somme respectivement de 3, 5, 7, … nombres consécutifs, etc.
opération, décomposition d’un nombre, nombre consécutif
Points attribués sur 202 copies de 17 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 8 (17%) | 16 (33%) | 14 (29%) | 4 (8%) | 6 (13%) | 48 | 1.67 |
| Cat 6 | 8 (15%) | 15 (28%) | 7 (13%) | 10 (19%) | 14 (26%) | 54 | 2.13 |
| Cat 7 | 7 (13%) | 4 (8%) | 6 (12%) | 13 (25%) | 22 (42%) | 52 | 2.75 |
| Cat 8 | 1 (2%) | 7 (15%) | 10 (21%) | 10 (21%) | 20 (42%) | 48 | 2.85 |
| Total | 24 (12%) | 42 (21%) | 37 (18%) | 37 (18%) | 62 (31%) | 202 | 2.35 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
(c) ARMT, 2012-2024