Carrés superposés

Identification

Rallye: 20.F.15 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: OPR, GP
Familles:

• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres
• RD/CP - Comparer des aires et/ou des périmètres
• SF - Etudier des suites de figures

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Résumé

A partir de la suite des racines carrées des nombres naturels, établir la suite des écarts [√n - √(n-1)]/2 puis déterminer le 5e terme de la suite et trouver le rang du premier terme inférieur à 0,05; dans un contexte de carrés superposés.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Comprendre que tous les cadres ont la même mesure d’aire (1 dm2), que de l’un au suivant la mesure des côtés augmente et que, par conséquent, la largeur du cadre diminue.

- Comprendre que les mesures des côtés des carrés sont : 1, √2, √3 , √4 = 2, √5 , √6 , …(en dm)

- Calculer la largeur des cadres successifs (moitié de la différence entre deux côtés successifs) : (√2−1)/2, (√3−√2)/2, (2−√3)/2, (√5−2)/2, … (en dm) et en tirer la largeur du 5e cadre : (√5−2)/2≅0,118 (dm) ou 50(√5−2)≅11,8 (mm)

- Poursuivre le calcul des largeurs de cadres, converties en mm jusqu’à (√25−√24)/2 ≅ 0,0505 dm = 5,05 mm, ( √25−√26)/2 ≅ 0,049 dm ≅ 4,9 et en déduire que le dernier carré posé par Luc est le 26e.

Ou, exprimer le terme général de la suite des largeurs (√n − √n-1)/2 (n >1) et poser l’inéquation (√n − √n-1)/2 < 5/100 dont la solution est n > 25,50 correspondant à 26 carrés.

Se rappeler que le premier carré et chacun des cadres successifs ont une aire de 1 dm2. Les deux parties blanche et grise ont donc la même aire lorsque le nombre de carrés superposés est pair alors que l’aire de la partie blanche est plus grande que celle de la partie grise pour un nombre impair de carrés.

- En superposant les 26 premiers carrés, les parties blanche et grise ont la même aire.

Notions mathématiques

racine carrée, carré, côté, aire, suite, inéquation

Résultats

20.F.15

Points attribués sur 86 copies de 16 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponses correctes : ( √5− 2)/2 cm, ou ≅ 0,118 dm ou ≅ 11,8 mm ; 26 carrés, les deux aires sont égales, avec explications claires
• 3 points: Réponses correctes mais avec des explications incomplètes
  ou réponse à la première question (0,118 dm ou 11,8 mm) et réponses aux deux autres questions avec explications claires
• 2 points: Réponse à la première question (0,118 dm ou 11,8 mm) sans spécifier qu’il s’agit de valeurs approximatives, sans explications
  ou réponse correcte à la première question (≅0,118 dm ou ≅ 11,8 mm) et réponses 25 ou 27 à la deuxième question due à une erreur de calcul et réponse à la troisième question cohérente avec la deuxième
  ou réponses correctes aux deux premières questions et erreur sur la troisième
• 1 point: Réponse correcte à une seule des trois questions
• 0 point: Incompréhension du problème