Banque de problèmes du RMT
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Trouver 2 nombres, dont la somme est égale à 78 et dont la différence des doubles est égale à 12.
Analyse a priori
- Comprendre les contraintes du problème : le nombre de jetons pris par Lou et égal au nombre de jetons restants comptés par Tom, la différence des 2 nombres est égale à 12, la somme des moitiés des 2 nombres est égale à 78.
- Les stratégies suivantes sont plus rapides ou plus économiques si les élèves se rendent compte que le nombre de chaque sorte de jetons doit être pair (pour que Lou puisse en prendre la moitié)
- Stratégie par essais et ajustements de nombres respectant les contraintes énoncées successivement : essai (hypothèse) respectant les 12 jetons de différence, calcul de la moitié de chaque nombre (pris par Lou ou qui restent), addition des restes et vérification pour savoir si cette somme est 78.
- Stratégie par inventaires des cas, par exemple en commençant l’énumération à 2 pour les jetons bleus et donc à 14 (2 + 12) pour les jetons rouges et vérification de la 2e condition (cette organisation peut apparaître, mais sans doute pas sous forme de tableau, par exemple :
L'inventaire peut s'arrêter lorsque la somme 78 est atteinte en remarquant que la suite des sommes est croissante.
- Procéder de même, mais en partant des jetons enlevés (ou restants) et en considérant qu'il y a 6 jetons restants rouges de plus que de jetons restants bleus.
- Comprendre que dans chacune des deux moitiés de jetons, le nombre de jetons rouges dépasse de 6 le nombre de jetons bleus, puis qu’en soustrayant 6 de 78 on obtient le double des jetons bleus. Par conséquent le calcul (78-6): 2 = 36 donne le nombre de jetons bleus et 36 + 6 = 42 le nombre de jetons rouges.
- Raisonner en partant du nombre initial de jetons (156 = 78 × 2). En soustrayant les 12 jetons rouges de plus, on obtient le double du nombre de jetons bleus (144 = 156-12). En déduire le nombre de jetons bleus (72 = 144: 2) et celui des jetons rouges (84 = 72 + 12), puis le nombre de jetons pris par Lou (la moitié des nombres précédents), ce raisonnement peut aussi conduire à la suite de calculs : (156 – 12) : 2 = 72, 72 + 12 = 84, 72 : 2 = 36, 84 : 2 = 42
moitié, différence, reste
Points attribués sur 126 classes de 20 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 15 (28%) | 18 (33%) | 3 (6%) | 7 (13%) | 11 (20%) | 54 | 1.65 |
| Cat 6 | 13 (18%) | 20 (28%) | 3 (4%) | 8 (11%) | 28 (39%) | 72 | 2.25 |
| Total | 28 (22%) | 38 (30%) | 6 (5%) | 15 (12%) | 39 (31%) | 126 | 1.99 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
(c) ARMT, 2014-2024