Après 2013

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Rallye: 22.F.18 ; catégories: 9, 10 ; domaine: OPQ
Famille:

• AMQ - Additionner, multiplier, ... comparer, transformer des fractions

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Résumé

Calculer la somme des 2013 premiers termes de la suite 1/1×1/2; 1/2×1/3; 1/3×1/4; 1/4×1/5 ... et la multiplier par 2014

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Observer les premiers termes de la suite, comprendre la règle de construction et la généraliser pour découvrir le 2013e terme : 1/2013 x 1/2014.

à cet effet, il faut comprendre que chaque terme est le produit de deux fractions de numérateur 1 et de dénominateurs successifs et que le premier des deux dénominateurs est le numéro d’ordre du terme le n^e terme, est le produit , 1/n x 1/(n+1)

- Passer ensuite à la somme (1/1) x (1/2) + (1/2) x (1/3) + (1/3) x (1/4) + ...

et se rendre compte qu’il n’est pas possible d’écrire explicitement les 2013 termes de cette somme et qu’il faut chercher une règle généralisable pour calculer la somme demandée : le premier terme vaut 1/2, le 2e est 1/6, le 3e est 1/12, ... et la somme à calculer devient ainsi : 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + …

puis (ou directement) calculer les sommes successives des premiers termes de la somme et les simplifier pour aboutir à la suite des sommes successives :  1/2 ; 3/4 ; 4/5 ; 5/6 ; ...

- Constater que cette nouvelle suite est composée de fractions dont le dénominateur est égal au numérateur plus 1.

- Le 2013e terme de cette suite sera ainsi 2013/2014 et son produit par 2014 sera 2013.

Notions mathématiques

fraction, somme, produit

Résultats

22.F.18

Points attribués sur 46 classes de 6 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (2013) avec explications et calculs explicites de sommes partielles
• 3 points: Réponse correcte (2013) sans explications
• 2 points: Réponse fausse en raison d’une erreur de calcul mais avec une démarche correcte
  ou conduite du raisonnement jusqu’à la suite des sommes des premiers termes 1/2 ; 3/4 ; 4/5 ; 5/6 ; ...
• 1 point: Début de recherche correct, par exemple calcul de quelques trois ou quatre sommes partielles
• 0 point: Incompréhension du problème