Banca di problemi del RMT
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Spirale di quadrati (I)IdentificazioneRally: 23.II.11 ; categorie: 6, 7, 8 ; ambiti: GP, GMFamiglie:
Envoyer une remarque ou une suggestion SuntoCalcolare l’area di una figura composta da 8 quadrati parzialmente sovrapposti, disposti a spirale, con il lato di ognuno di essi che coincide con la diagonale del precedente (sono disegnati i primi 6 quadrati; il lato del primo quadrato misura 1 cm). Enunciato Compito per la risoluzione e saperi mobilizzatiAnalisi a priori - Analizzare il disegno e percepire le regole di successione dei sei quadrati: il quadrato di partenza, il punto comune a tutti i quadrati, la coincidenza di un lato di un nuovo quadrato con la diagonale del precedente.  - Completare il disegno con il settimo e l’ottavo quadrato; rendersi conto che l’ottavo quadrato ricopre interamente la metà visibile del primo quadrato (lo si ricava guardando il disegno o considerando la successione degli 8 angoli di 45° tra un quadrato e il successivo e constatando che si viene a formare un angolo giro (360°) con vertice nel punto comune dei quadrati). - Immaginare il primo quadrato o disegnare il suo contorno sotto il secondo, constatare quindi la sua decomposizione in due triangoli rettangoli, “triangoli-unità”; immaginare il secondo o disegnarne il contorno sotto il terzo, constatare che anch’esso si decompone in due triangoli rettangoli, composti ciascuno da due “triangoli-unità”. - Comprendere allora che l’area richiesta si ottiene sommando le aree di sei mezzi quadrati (dal secondo al settimo) e di un quadrato intero (l’ottavo). - Osservare che l’area di ogni quadrato (o semi-quadrato) è il doppio dell’area di quello che lo precede (come mostra la figura). Di conseguenza a partire dal primo quadrato (non visibile) che ha area 1 cm2, raddoppiando, si trovano le aree dei quadrati successivi, e quindi delle loro metà, cioè dei triangoli rettangoli visibili. - La somma da calcolare, in cm2, è pertanto 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 128; si ottiene 191 cm2. - Si può anche utilizzare il teorema di Pitagora (a partire dal livello 8) per determinare la lunghezza del’ipotenusa di ciascun triangolo rettangolo che è anche un cateto del triangolo rettangolo successivo; in seguito calcolare le aree dei diversi triangoli rettangoli e dell’ottava figura quadrata e farne la somma.  Risultati23.II.11Su 2591 classi di 20 sezioni partecipanti alla prova 2 del 23° RMT,
Secondo i criteri dell’analisi a priori:
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