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Banca di problemi del RMTud369-it |
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Calcolare l’area di una figura composta da 8 quadrati parzialmente sovrapposti, disposti a spirale, con il lato di ognuno di essi che coincide con la diagonale del precedente (sono disegnati i primi 6 quadrati; il lato del primo quadrato misura 1 cm).
Analisi a priori
- Analizzare il disegno e percepire le regole di successione dei sei quadrati: il quadrato di partenza, il punto comune a tutti i quadrati, la coincidenza di un lato di un nuovo quadrato con la diagonale del precedente.
- Completare il disegno con il settimo e l’ottavo quadrato; rendersi conto che l’ottavo quadrato ricopre interamente la metà visibile del primo quadrato (lo si ricava guardando il disegno o considerando la successione degli 8 angoli di 45° tra un quadrato e il successivo e constatando che si viene a formare un angolo giro (360°) con vertice nel punto comune dei quadrati).
- Immaginare il primo quadrato o disegnare il suo contorno sotto il secondo, constatare quindi la sua decomposizione in due triangoli rettangoli, “triangoli-unità”; immaginare il secondo o disegnarne il contorno sotto il terzo, constatare che anch’esso si decompone in due triangoli rettangoli, composti ciascuno da due “triangoli-unità”.
- Comprendere allora che l’area richiesta si ottiene sommando le aree di sei mezzi quadrati (dal secondo al settimo) e di un quadrato intero (l’ottavo).
- Osservare che l’area di ogni quadrato (o semi-quadrato) è il doppio dell’area di quello che lo precede (come mostra la figura). Di conseguenza a partire dal primo quadrato (non visibile) che ha area 1 cm2, raddoppiando, si trovano le aree dei quadrati successivi, e quindi delle loro metà, cioè dei triangoli rettangoli visibili.
- La somma da calcolare, in cm2, è pertanto 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 128; si ottiene 191 cm2.
- Si può anche utilizzare il teorema di Pitagora (a partire dal livello 8) per determinare la lunghezza del’ipotenusa di ciascun triangolo rettangolo che è anche un cateto del triangolo rettangolo successivo; in seguito calcolare le aree dei diversi triangoli rettangoli e dell’ottava figura quadrata e farne la somma.
Su 2591 classi di 20 sezioni partecipanti alla prova 2 del 23° RMT,
Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
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Cat 6 | 640 (62%) | 318 (31%) | 54 (5%) | 15 (1%) | 11 (1%) | 1038 | 0.5 |
Cat 7 | 426 (46%) | 372 (41%) | 68 (7%) | 13 (1%) | 38 (4%) | 917 | 0.76 |
Cat 8 | 223 (35%) | 278 (44%) | 73 (11%) | 15 (2%) | 47 (7%) | 636 | 1.03 |
Totale | 1289 (50%) | 968 (37%) | 195 (8%) | 43 (2%) | 96 (4%) | 2591 | 0.72 |
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. |
Secondo i criteri dell’analisi a priori:
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