ARMT

Banca di problemi del RMT

ud369-it

centre

Spirale di quadrati (I)

Identificazione

Rally: 23.II.11 ; categorie: 6, 7, 8 ; ambiti: GP, GM
Famiglie:

Remarque et suggestion

Sunto

Calcolare l’area di una figura composta da 8 quadrati parzialmente sovrapposti, disposti a spirale, con il lato di ognuno di essi che coincide con la diagonale del precedente (sono disegnati i primi 6 quadrati; il lato del primo quadrato misura 1 cm).

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Analizzare il disegno e percepire le regole di successione dei sei quadrati: il quadrato di partenza, il punto comune a tutti i quadrati, la coincidenza di un lato di un nuovo quadrato con la diagonale del precedente.


- Completare il disegno con il settimo e l’ottavo quadrato; rendersi conto che l’ottavo quadrato ricopre interamente la metà visibile del primo quadrato (lo si ricava guardando il disegno o considerando la successione degli 8 angoli di 45° tra un quadrato e il successivo e constatando che si viene a formare un angolo giro (360°) con vertice nel punto comune dei quadrati).

- Immaginare il primo quadrato o disegnare il suo contorno sotto il secondo, constatare quindi la sua decomposizione in due triangoli rettangoli, “triangoli-unità”; immaginare il secondo o disegnarne il contorno sotto il terzo, constatare che anch’esso si decompone in due triangoli rettangoli, composti ciascuno da due “triangoli-unità”.

- Comprendere allora che l’area richiesta si ottiene sommando le aree di sei mezzi quadrati (dal secondo al settimo) e di un quadrato intero (l’ottavo).

- Osservare che l’area di ogni quadrato (o semi-quadrato) è il doppio dell’area di quello che lo precede (come mostra la figura). Di conseguenza a partire dal primo quadrato (non visibile) che ha area 1 cm2, raddoppiando, si trovano le aree dei quadrati successivi, e quindi delle loro metà, cioè dei triangoli rettangoli visibili.

- La somma da calcolare, in cm2, è pertanto 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 128; si ottiene 191 cm2.

- Si può anche utilizzare il teorema di Pitagora (a partire dal livello 8) per determinare la lunghezza del’ipotenusa di ciascun triangolo rettangolo che è anche un cateto del triangolo rettangolo successivo; in seguito calcolare le aree dei diversi triangoli rettangoli e dell’ottava figura quadrata e farne la somma.


Risultati

23.II.11

Su 2591 classi di 20 sezioni partecipanti alla prova 2 del 23° RMT,

Categoria01234Nb.classiMedia
Cat 6640 (62%)318 (31%)54 (5%)15 (1%)11 (1%)10380.5
Cat 7426 (46%)372 (41%)68 (7%)13 (1%)38 (4%)9170.76
Cat 8223 (35%)278 (44%)73 (11%)15 (2%)47 (7%)6361.03
Totale1289 (50%)968 (37%)195 (8%)43 (2%)96 (4%)25910.72
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

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