Via della repubblica

Identificazione

Rally: 23.II.15 ; categorie: 7, 8, 9, 10 ; ambiti: OPN, NU
Famiglie:

• MUL - Moltiplicare numeri naturali ed effettuare divisioni con resto
• VP - Gestire il valore posizionale delle cifre nella scrittura di un numero

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Sunto

Determinare due numeri differenti di due cifre sapendo che la cifra delle decine dell’uno è la cifra delle unità dell’altro e viceversa, che la loro differenza è 18, la loro somma è multiplo di 6 e il loro prodotto è multiplo di 8.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Comprendere le condizioni date (con un vincolo sottointeso: i due numeri sono differenti) ed interpretarle.

- Fare l’elenco delle coppie di numeri a due cifre differenti e verificare le tre condizioni (eventualmente con l’uso di una tabella) .

- Strategia con ragionamento ed inventario a partire dalla condizione sulla differenza, e per tentativi organizzati: tenendo conto che la differenza dei due numeri è 18, ottenere il seguente elenco di coppie da studiare: (31, 13); (42, 24); (53, 35); (64, 46); (75, 57); (86, 68); (97, 79). Esaminare quindi se le altre due condizioni sono soddisfatte.

- Strategie con ragionamento ed inventario a partire dalla condizione sulla somma: ricerca dei multipli di 6 superiori a 30 e inferiori a 200: 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78,… ed individuazione di quelli che sono somma di due numeri con cifre invertite e che verificano l’ultima condizione. La ricerca può essere ridotta ragionando su due delle condizioni (senza dubbio dopo dei tentativi): essendo la somma dei due numeri un multiplo di 6, tale somma è pari e quindi i due numeri o sono entrambi pari o sono entrambi dispari; poiché il prodotto dei 2 numeri è multiplo di 8, entrambi i numeri sono necessariamente pari e le loro cifre non possono che essere 2, 4, 6 o 8.

- Strategie con ragionamento a partire dalla condizione sul prodotto: poiché il prodotto è multiplo di 8, se ne deduce che uno dei numeri è multiplo di 8 oppure che uno è multiplo di 4 e l’altro di 2. Fare l’inventario dei numeri possibili e verificare le altre condizioni.

- Si può eventualmente considerare la strategia seguente, prima algebrica e poi aritmetica.

I due numeri si scrivono [ab] e [ba] con 1 ≤ a ≤ 9 e 1 ≤ b ≤ 9, supponendo a > b.

Esprimere algebricamente che la loro differenza è 18:

[ab] - [ba] = (10a + b) − (10b + a) = 9 (a − b) = 18, da cui a − b = 2

Dedurne le coppie di numeri possibili (31, 13) ; (42, 24) ; (53, 35) ; (64, 46) ; (75, 57) ; (86, 68) ; (97, 79).

Continuare con una procedura aritmetica controllando per ciascuna coppia se le due condizioni sulla somma e sul prodotto sono verificate. La parità del prodotto può essere utilizzata per conservare solo le coppie composte di numeri pari prima di verificare la condizione sulla somma.

- Oppure tradurre algebricamente che la loro somma è multiplo di 6:

[ab] + [ba] = (10a + b) + (10b + a) = 11 (a + b) = 6 n, da cui a + b è multiplo di 6.

Ricavarne le coppie di numeri possibili (15, 51) ; (24, 42) ; (39, 93) ; (48, 84) ; (57, 75).

Continuare con una procedura aritmetica controllando per ciascuna coppia se le due condizioni sulla differenza e sul prodotto sono verificate.

- Tutte le strategie conducono alla risposta (24; 42).

Risultati

23.II.15

Su 1859 classi di 20 sezioni partecipanti alla prova 2 del 23° RMT,

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (24, 42), con spiegazione chiara del procedimento seguito
• 3 punti: Risposta corretta con spiegazione incompleta o poco chiara del procedimento, ma che tiene conto di tutte le condizioni
• 2 punti: Risposta corretta senza spiegazione o senza verifica di tutte le condizioni
• 1 punto: Inizio di ragionamento corretto (si considera che i numeri sono formati da due cifre, che le cifre sono differenti...)
• 0 punto: Incomprensione del problema