Banca di problemi del RMT
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Determinare due numeri differenti di due cifre sapendo che la cifra delle decine dell’uno è la cifra delle unità dell’altro e viceversa, che la loro differenza è 18, la loro somma è multiplo di 6 e il loro prodotto è multiplo di 8.
Analisi a priori
- Comprendere le condizioni date (con un vincolo sottointeso: i due numeri sono differenti) ed interpretarle.
- Fare l’elenco delle coppie di numeri a due cifre differenti e verificare le tre condizioni (eventualmente con l’uso di una tabella) .
- Strategia con ragionamento ed inventario a partire dalla condizione sulla differenza, e per tentativi organizzati: tenendo conto che la differenza dei due numeri è 18, ottenere il seguente elenco di coppie da studiare: (31, 13); (42, 24); (53, 35); (64, 46); (75, 57); (86, 68); (97, 79). Esaminare quindi se le altre due condizioni sono soddisfatte.
- Strategie con ragionamento ed inventario a partire dalla condizione sulla somma: ricerca dei multipli di 6 superiori a 30 e inferiori a 200: 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78,… ed individuazione di quelli che sono somma di due numeri con cifre invertite e che verificano l’ultima condizione. La ricerca può essere ridotta ragionando su due delle condizioni (senza dubbio dopo dei tentativi): essendo la somma dei due numeri un multiplo di 6, tale somma è pari e quindi i due numeri o sono entrambi pari o sono entrambi dispari; poiché il prodotto dei 2 numeri è multiplo di 8, entrambi i numeri sono necessariamente pari e le loro cifre non possono che essere 2, 4, 6 o 8.
- Strategie con ragionamento a partire dalla condizione sul prodotto: poiché il prodotto è multiplo di 8, se ne deduce che uno dei numeri è multiplo di 8 oppure che uno è multiplo di 4 e l’altro di 2. Fare l’inventario dei numeri possibili e verificare le altre condizioni.
- Si può eventualmente considerare la strategia seguente, prima algebrica e poi aritmetica.
I due numeri si scrivono [ab] e [ba] con 1 ≤ a ≤ 9 e 1 ≤ b ≤ 9, supponendo a > b.
Esprimere algebricamente che la loro differenza è 18:
[ab] - [ba] = (10a + b) − (10b + a) = 9 (a − b) = 18, da cui a − b = 2
Dedurne le coppie di numeri possibili (31, 13) ; (42, 24) ; (53, 35) ; (64, 46) ; (75, 57) ; (86, 68) ; (97, 79).
Continuare con una procedura aritmetica controllando per ciascuna coppia se le due condizioni sulla somma e sul prodotto sono verificate. La parità del prodotto può essere utilizzata per conservare solo le coppie composte di numeri pari prima di verificare la condizione sulla somma.
- Oppure tradurre algebricamente che la loro somma è multiplo di 6:
[ab] + [ba] = (10a + b) + (10b + a) = 11 (a + b) = 6 n, da cui a + b è multiplo di 6.
Ricavarne le coppie di numeri possibili (15, 51) ; (24, 42) ; (39, 93) ; (48, 84) ; (57, 75).
Continuare con una procedura aritmetica controllando per ciascuna coppia se le due condizioni sulla differenza e sul prodotto sono verificate.
- Tutte le strategie conducono alla risposta (24; 42).
Su 1859 classi di 20 sezioni partecipanti alla prova 2 del 23° RMT,
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 116 (13%) | 65 (7%) | 197 (21%) | 333 (36%) | 207 (23%) | 918 | 2.49 |
| Cat 8 | 57 (9%) | 39 (6%) | 156 (24%) | 223 (35%) | 162 (25%) | 637 | 2.62 |
| Cat 9 | 18 (11%) | 5 (3%) | 44 (28%) | 45 (28%) | 48 (30%) | 160 | 2.63 |
| Cat 10 | 10 (7%) | 7 (5%) | 45 (31%) | 46 (32%) | 36 (25%) | 144 | 2.63 |
| Totale | 201 (11%) | 116 (6%) | 442 (24%) | 647 (35%) | 453 (24%) | 1859 | 2.56 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Secondo i criteri dell’analisi a priori:
(c) ARMT, 2015-2025