Banca di problemi del RMT
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Calcolare la distanza tra due quadrati concentrici in cui il perimetro dell’uno vale 3,60 m più di quello dell’altro e trovare le lunghezze possibili, comprese entro limiti assegnati, del perimetro del quadrato piccolo.
Analisi a priori
- Immaginare o rappresentare con un disegno i due quadrati, un bordo intero in un caso particolare, osservare la posizione delle piastrelle nei quattro angoli, rendendosi conto che il numero delle piastrelle e le loro dimensioni sono proprio gli aspetti centrali del problema.
- In un’eventuale procedura per tentativi, scegliere un certo numero (N) di piastrelle per lato (con o senza disegno); calcolare la misura dei due perimetri (in “lati di piastrelle”), per arrivare a 4 × N e 4 × (N + 2) e constatare che la differenza è di 3,60 m che corrisponde a 8 “lati di piastrelle”, da cui si trova che il lato di una piastrella misura 0,45 m. (Questa procedura può aprire la strada, nel caso di tentativi ripetuti, alla percezione della “costanza” della misura di un lato di piastrelle, indipendentemente dal numero di piastrelle (N) immaginato, cioè indipendentemente dalla misura dei lati della piscina. Può anche consentire di accedere direttamente ad una o più risposte alla seconda domanda).
Oppure, con una procedura geometrica, per addizione o sottrazione di segmenti, costatando che “l’allungamento” di 3,60 m corrisponde ai due lati “liberi” (non comuni alle piastrelle vicine) di ciascuna delle quattro piastrelle dei vertici, cioè alla lunghezza di 8 lati di piastrelle.
Oppure, con una procedura algebrica, indicando con L e l, rispettivamente, le lunghezze dei lati del bordo e della piscina e impostando l’equazione 4L = 4l + 3,60, che porta a L – l = 0,90. Il lato di una piastrella misura dunque 0,45 m.
- Per rispondere alla seconda domanda sulla misura del lato della piscina, a partire da “0,45” ottenuto in precedenza, comprendere che bisogna utilizzare i dati relativi al numero di piastrelle (per limitarsi solo a qualche soluzione) e che tale numero è compreso tra 101 e 125. Si può procedere per tentativi, oppure tener conto del fatto che il numero delle piastrelle è un multiplo di 4: 104, 108, 112, 116, 120, 124 e che senza le quattro piastrelle degli angoli, si possono avere 25, 26, 27, 28, 29, 30 piastrelle per ogni lato, quindi le lunghezze dei lati della piscina possono essere (in m): 11,25; 11,70; 12,15; 12,60; 13,05; 13,50.
Su 939 classi di 20 sezioni partecipanti alla prova 2 del 23° RMT,
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 320 (50%) | 179 (28%) | 81 (13%) | 30 (5%) | 26 (4%) | 636 | 0.84 |
| Cat 9 | 63 (40%) | 50 (31%) | 25 (16%) | 15 (9%) | 6 (4%) | 159 | 1.06 |
| Cat 10 | 59 (41%) | 43 (30%) | 27 (19%) | 9 (6%) | 6 (4%) | 144 | 1.03 |
| Totale | 442 (47%) | 272 (29%) | 133 (14%) | 54 (6%) | 38 (4%) | 939 | 0.91 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Secondo i criteri dell’analisi a priori:
(c) ARMT, 2015-2024