Triangles de mêmes aires

Identification

Rallye: 23.II.17 ; catégories: 9, 10 ; domaine: GM
Familles:

• GDE - Organiser une suite de relations en géométrie déductive
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres

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Résumé

Déterminer le nombre de triangles que l’on peut construire, connaissant la longueur de deux des côtés et leur aire. Déterminer la longueur du troisième côté.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Exclure que les côtés de 5 cm et 8 cm sont les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle : (5 x 8)/2 = 20 ≠ 16.

- Faire le choix d’un des deux côtés connus pour base du triangle ABC à construire, utiliser la formule de l’aire du triangle pour déterminer la mesure de la hauteur correspondante. Si par exemple, on choisit le côté AB = 8 cm pour base, la hauteur correspondante mesure 4 cm.

- Le troisième sommet d’un triangle à construire est donc situé sur l’une des deux droites parallèles à cette base, distantes de 4 cm. On ne considère qu’une de ces deux droites, car pour des raisons de symétrie les triangles construits sur l’autre ne seront pas différents.

- Utiliser la longueur connue du second côté (5 cm) pour déterminer, avec un compas, les positions possibles du troisième sommet sur la droite considérée.

- Le cercle centré sur le sommet A de rayons 5 cm, coupe cette droite en deux points C et D sommets des triangles cherchés. Le cercle centré sur le sommet B coupe cette droite en deux autres points qui sont des sommets de triangles identiques aux précédents par symétrie.

- Ensuite, il est possible sur un dessin bien fait d’utiliser la règle pour mesurer la longueur du troisième côté (valeur approchée qui ne satisfait pas la demande d’un calcul de sa mesure, mais acceptable au niveau 8 sans supposer connu le théorème de Pythagore).

- Calculer la longueur possible du 3e côté. Pour cela, si H et K sont les pieds des hauteurs issues de C et D :

• déterminer les longueurs AH et AK à l’aide du théorème de Pythagore dans les triangles rectangles AHC et AKD (AH = AK = 3 cm, si AB = 8 cm est choisie comme base),
• en déduire la longueur BC, en utilisant à nouveau le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle BHC. BC = √41 cm,
• en déduire de même la longueur BD, en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle DKB, on obtient DB = √ 137 cm.

- En prenant pour base le côté de 5 cm, on obtient les mêmes triangles, mais avec des calculs plus compliqués : Pour le triangle ABC, AB = 5 cm ; AC = AD = 8 cm ; CH = 6,4 cm ; AH² = AC² - CH² = 64 - 40,96 ; AH = 4,8 cm, HB = 0,2 cm ; BC² = CH² + HB² = 40,96 + 0,04 = 41, d’où BC = √ 41 cm. On retrouve la même longueur que dans le cas précédent. Idem pour le triangle ABD.

Notions mathématiques

aire, triangle, construction

Résultats

23.II.17

Points attribués, sur 303 classes de 9 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponses exactes (2 triangles et les mesures des troisièmes côtés : √41 cm et √137 cm) avec des explications claires et complètes, avec un dessin et des calculs
• 3 points: Réponses exactes avec des explications incomplètes ou peu claires,
  ou réponse erronée due à une erreur de calcul mais avec des explications correctes,
  ou réponses approchées (2 triangles et les mesures des troisièmes côtés : 6,4 cm et 11,7 cm obtenues sur un dessin précis),
  ou réponse : 4 ou 8 triangles (un triangle et son symétrique par rapport à un des côtés et/ou un triangle et son symétrique par rapport à la médiatrice d’un des côtés) et un calcul correct de la longueur du troisième côté avec des explications claires et complètes
• 2 points: Réponses exactes sans explication ni calcul,
  ou réponse partielle (1 triangle) avec des explications claires et complètes
• 1 point: Début de raisonnement correct prouvant la compréhension du problème (par exemple, dessin d’un triangle sans construction, mesure d’un côté et de la hauteur correspondante et calcul de l’aire)
• 0 point: Incompréhension du problème