Spirale di quadrati (II)

Identificazione

Rally: 23.II.18 ; categorie: 9, 10 ; ambiti: GM, GP
Famiglie:

• RD - Ricercare o utilizzare dimensioni
• RD/AP - Determinare aree e/o perimetri
• SF - Studiare successioni di figure

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Sunto

Calcolare l’area della superficie occupata da una successione di 20 quadrati, di cui il primo ha il lato di 1 cm, parzialmente sovrapposti, disposti a spirale, con un vertice comune e il lato di ognuno coincidente con la diagonale del precedente (sono disegnati i primi sei quadrati).

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Analizzare il disegno e percepire le regole di successione dei sei quadrati: il quadrato di partenza, il punto comune a tutti i quadrati, la coincidenza di un lato di un nuovo quadrato con la diagonale del precedente, ... e il fatto importante che il settimo quadrato non ricoprirà il primo, ma che l’ottavo lo farà e lo stesso per i seguenti.

- Constatare, eventualmente dopo aver disegnato le parti nascoste di qualche quadrato (cfr. figura a lato), che è visibile solo la metà di ciascun quadrato e che l’area di un quadrato (risp. di un triangolo rettangolo) è il doppio dell’area del quadrato che lo ricopre a metà (risp. del triangolo rettangolo che lo precede).

- Si può anche utilizzare il teorema di Pitagora per determinare la lunghezza dell’ipotenusa di ciascun triangolo rettangolo, che è anche un cateto del triangolo rettangolo seguente, e dedurne che le aree successive sono raddoppiate in ciascun nuovo quadrato.

- Comprendere che raddoppiando ogni volta l’area dei quadrati, le dimensioni del 20-esimo saranno troppo grandi per poter disegnare tutti i quadrati: “a mano” non si riesce ad andare oltre il decimo o l’undicesimo. Di conseguenza è necessario “immaginare” o passare all’ambito del calcolo.

- Nel dominio numerico notare esplicitamente le corrispondenze tra il numero d’ordine dei triangoli rettangoli visibili (da 1 a 19) e le loro aree espresse eventualmente in “triangoli-unità” (contati mediante pavimentazione).

Percepire la progressione delle potenze di 2 nelle aree ottenute, in particolare per gli ultimi termini.

La ventesima figura è un quadrato di area 2¹⁹ cm² (essa è formata da 4 triangoli isometrici al triangolo visibile di posto 19).

- Considerare la figura ricostruita a partire dall’ultimo quadrato (il 20-esimo) e osservare che prima del 14-esimo i quadrati sono tutti nascosti e trovare, a partire dalla successione precedente delle potenze di 2, la progressione delle aree visibili.

- Sarà necessario quindi conservare solo le aree visibili dei sette ultimi quadrati, dal 14-esimo al 20-esimo, di cui solo quella dell’ultimo è l’area di un quadrato intero, mentre le sei precedenti sono quelle di semi-quadrati. L’area richiesta è pertanto (in cm²): (2¹² + 2¹³ + 2¹⁴ + 2¹⁵ + 2¹⁶ + 2¹⁷) + 2¹⁹ = 2¹² (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 128) = 782 336. 

Risultati

23.II.18

Su 302 classi di 9 sezioni partecipanti alla prova 2 del 23° RMT,

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (782 336, in cm2) con spiegazioni chiare (le sette aree esplicitate)
• 3 punti: Risposta corretta senza spiegazioni o spiegazioni molto incomplete
  oppure errore di calcolo, ma con le 7 aree ben riconosciute
• 2 punti: Risposta errata dovuta ad una confusione nelle 7 aree da determinare (i sette quadrati interi, o i sette semi-quadrati)
  oppure risposta errata che dà la somma totale della progressione delle potenze di 2, da 1 a 218 più l’area 220 del 20-esimo quadrato in triangoli unità, o la metà in cm2, cioè 786 431,5 cm2
• 1 punto: Risposta errata in cui sono più di 7 aree prese in considerazione
  oppure inizio di ragionamento (solo riconoscimento della successione delle aree dei quadrati)
  oppure solo calcolo dell’area dei sei primi quadrati
• 0 punto: Incomprensione del problema