|
Banca di problemi del RMTud376-it |
|
Calcolare l’area della superficie occupata da una successione di 20 quadrati, di cui il primo ha il lato di 1 cm, parzialmente sovrapposti, disposti a spirale, con un vertice comune e il lato di ognuno coincidente con la diagonale del precedente (sono disegnati i primi sei quadrati).
Analisi a priori
- Analizzare il disegno e percepire le regole di successione dei sei quadrati: il quadrato di partenza, il punto comune a tutti i quadrati, la coincidenza di un lato di un nuovo quadrato con la diagonale del precedente, ... e il fatto importante che il settimo quadrato non ricoprirà il primo, ma che l’ottavo lo farà e lo stesso per i seguenti.
- Constatare, eventualmente dopo aver disegnato le parti nascoste di qualche quadrato (cfr. figura a lato), che è visibile solo la metà di ciascun quadrato e che l’area di un quadrato (risp. di un triangolo rettangolo) è il doppio dell’area del quadrato che lo ricopre a metà (risp. del triangolo rettangolo che lo precede).
- Si può anche utilizzare il teorema di Pitagora per determinare la lunghezza dell’ipotenusa di ciascun triangolo rettangolo, che è anche un cateto del triangolo rettangolo seguente, e dedurne che le aree successive sono raddoppiate in ciascun nuovo quadrato.
- Comprendere che raddoppiando ogni volta l’area dei quadrati, le dimensioni del 20-esimo saranno troppo grandi per poter disegnare tutti i quadrati: “a mano” non si riesce ad andare oltre il decimo o l’undicesimo. Di conseguenza è necessario “immaginare” o passare all’ambito del calcolo.
- Nel dominio numerico notare esplicitamente le corrispondenze tra il numero d’ordine dei triangoli rettangoli visibili (da 1 a 19) e le loro aree espresse eventualmente in “triangoli-unità” (contati mediante pavimentazione).
Percepire la progressione delle potenze di 2 nelle aree ottenute, in particolare per gli ultimi termini.
La ventesima figura è un quadrato di area 219 cm2 (essa è formata da 4 triangoli isometrici al triangolo visibile di posto 19).
- Considerare la figura ricostruita a partire dall’ultimo quadrato (il 20-esimo) e osservare che prima del 14-esimo i quadrati sono tutti nascosti e trovare, a partire dalla successione precedente delle potenze di 2, la progressione delle aree visibili.
- Sarà necessario quindi conservare solo le aree visibili dei sette ultimi quadrati, dal 14-esimo al 20-esimo, di cui solo quella dell’ultimo è l’area di un quadrato intero, mentre le sei precedenti sono quelle di semi-quadrati. L’area richiesta è pertanto (in cm2): (212 + 213 + 214 + 215 + 216 + 217) + 219 = 212 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 128) = 782 336.
Su 302 classi di 9 sezioni partecipanti alla prova 2 del 23° RMT,
Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Cat 9 | 72 (45%) | 40 (25%) | 25 (16%) | 11 (7%) | 11 (7%) | 159 | 1.05 |
Cat 10 | 75 (52%) | 34 (24%) | 19 (13%) | 7 (5%) | 8 (6%) | 143 | 0.87 |
Totale | 147 (49%) | 74 (25%) | 44 (15%) | 18 (6%) | 19 (6%) | 302 | 0.97 |
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. |
Secondo i criteri dell’analisi a priori:
(c) ARMT, 2015-2024