Les cercles

Identification

Rallye: 23.II.19 ; catégorie: 10 ; domaines: GM, GP
Familles:

• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres
• RD/CER - Traiter des grandeurs liées au cercle

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Résumé

Calculer le rayon d’un cercle tangent à trois autres cercles dans la configuration donnée.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre, par symétrie de la figure, que le centre P du petit cercle est sur la médiatrice du segment qui joint les centres Q et Q’ des deux cercles de rayon r/2.

- Dessiner approximativement cette figure agrandie et, avec la règle, mesurer son rayon et le comparer avec celui r du grand cercle.

Ou bien, se rappeler que deux cercles sont tangents si et seulement si la distance de leurs centres est égale à la somme de leurs rayons.

- Appeler x le rayon du petit cercle à déterminer et écrire les conditions pour que ce cercle de rayon x soit tangent aux trois autres.

- Appliquer le théorème de Pythagore au triangle OPQ et obtenir l'équation : (r/2+x)² = (r/2)²+(r-x)²

- Sa résolution donne x = r/3

Notions mathématiques

cercle, rayon

Résultats

23.II.19

Points attribués, sur 143 classes de 9 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte avec des explications claires et complètes
• 3 points: Réponse correcte avec des explications incomplètes, ou réponse erronée due à une seule erreur de calcul avec des explications complètes et claires
• 2 points: Réponse correcte sans explications ou obtenue par une mesure sur le dessin,
  ou procédure bien engagée mais pas aboutie (par exemple, non résolution de l’équation)
• 1 point: Début de raisonnement correct qui montre la compréhension du problème, ou un dessin correct
• 0 point: Incompréhension du problème