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Les cubes de Zoé (I)

Identification

Rallye: 23.F.06 ; catégories: 4, 5, 6, 7 ; domaine: OPN
Familles:

Résumé

Déterminer un entier naturel inférieur à 25 ayant 2 décompositions trapézoïdales (décompositions en sommes d’entiers).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre la situation d’empilement à l’aide du texte et des dessins.

- Rester dans le cadre géométrique et essayer de façon organisée ou non de réaliser un schéma à l'aide de carrés répondant aux contraintes de l’énoncé et identifier celles qui répondent à la question posée.

- Passer au cadre numérique et comprendre qu’il s’agit de chercher des décompositions additives à l’aide d’entiers consécutifs pour les entiers inférieurs à 25 et ayant au moins 2 décompositions trapézoïdales.

- Procéder alors de façon systématique en cherchant toutes les décompositions trapézoïdales des entiers en débutant par les premiers entiers, et trouver les nombres trapézoïdaux qui apparaissent au moins deux fois. On a :

Sommes de 2 entiers : 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19 ; 21 ; 23
Sommes de 3 entiers : 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 ; 24
Sommes de 4 entiers : 10 ; 14 ; 18 ; 22
Sommes de 5 entiers : 15 ; 20
Sommes de 6 entiers : 21

- Repérer les nombres qui apparaissent au moins deux fois (9, 15, 18 et 21).

Ou procéder par essais additifs plus ou moins organisés et aboutir à certains des nombres cherchés (ou à tous !).

Notions mathématiques

empilement, cube

Résultats

23.F.06

Points attribués, sur 229 classes de 20 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 4	31 (53%)	11 (19%)	11 (19%)	2 (3%)	3 (5%)	58	0.88
Cat 5	22 (37%)	14 (23%)	14 (23%)	10 (17%)	0 (0%)	60	1.2
Cat 6	16 (28%)	9 (16%)	20 (35%)	10 (18%)	2 (4%)	57	1.53
Cat 7	7 (13%)	5 (9%)	16 (30%)	19 (35%)	7 (13%)	54	2.26
Total	76 (33%)	39 (17%)	61 (27%)	41 (18%)	12 (5%)	229	1.45
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Réponse complète exacte (9 ; 18 ; 15 et 21) avec explications claires et complètes (sans autre nombre erroné)
3 points: Réponse complète exacte avec explications incomplètes ou peu claires (sans autre nombre erroné)
ou réponse avec 5 nombres dont les 4 corrects (9 ; 18 ; 15 et 21) et soit 25, soit un autre incorrect (dû à une erreur de calcul), mais avec explications claires
ou 3 des nombres cherchés avec explications claires, sans autre nombre erroné
2 points: Les 4 nombres cherchés avec au plus 2 autres nombres erronés
ou 3 des nombres cherchés avec explications incomplètes ou peu claires et éventuellement un autre nombre erroné consécutif à une erreur de calcul
ou 1 ou 2 des nombres cherchés avec explications claires sans autre nombre erroné
1 point: Réponse avec au moins un nombre qui n’a qu’une décomposition (sans autre nombre erroné)
ou au moins un des nombres cherchés avec plusieurs autres nombres erronés ou sans explications
0 point: Incompréhension du problème

Banque de problèmes du RMT