Banque de problèmes du RMT
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Exploiter des égalités données par des équilibres d’une balance et des données numériques sur les masses de quatre objets pour déterminer le poids de chacun d'eux.
- Savoir interpréter correctement les équilibres d’une balance :
- De déduire que R + V = B + N (1) et de que R + B = N (2)
- Attribuer un poids parmi 1g, 2g, 3g et 4g à chaque bille et tester si les deux égalités sont vraies. Si les valeurs ne sont pas solutions, tester une autre répartition des masses entre les quatre billes. Si les valeurs sont solutions, tester d’autres répartitions des masses pour rechercher si d’autres solutions existent. Cette démarche nécessite beaucoup de rigueur pour ne pas oublier de possibilités et arriver à la conclusion que le problème n’a que deux solutions.
- Partir de l’égalité (1) et chercher comment avec les nombres 1, 2, 3 et 4 obtenir deux sommes égales : 1 + 4 = 2 + 3.
Faire une hypothèse sur les masses possibles de R et V d’une part, de B et N d’autre part de façon à satisfaire cette égalité, puis vérifier si les valeurs retenues satisfont l’égalité (2). Que les valeurs choisies soient solutions ou non, recommencer en faisant une autre hypothèse sur la masse de chacune des billes qui soit compatible avec l’égalité (1) pour rechercher d’autres solutions. Toutes les hypothèses possibles doivent être étudiées pour conclure que le problème n’a que deux solutions.
- Partir de l’égalité (2) et chercher comment avec deux des nombres parmi 1, 2, 3 et 4 obtenir une somme égale à un des deux autres nombres : 1 + 2 = 3 ou 1 + 3 = 4.
À partir d’une des deux égalités obtenues, faire une hypothèse sur les masses de R, B et N de façon à satisfaire cette égalité, en déduire la masse de V (4e masse) et vérifier si les valeurs retenues satisfont l’égalité (1). Que les valeurs choisies soient solutions ou non, recommencer en faisant une autre hypothèse sur les masses de R, B et N compatibles avec l’égalité (2) pour rechercher d’autres solutions. Toutes les hypothèses possibles doivent être étudiées pour conclure que le problème n’a que deux solutions.
- Procédure experte qui peut éventuellement être utilisée au niveau 7, en désignant les poids des boules par des lettres :
En partant de l’égalité (2), remplacer N par R + B dans l’égalité (1), en déduire que V = 2B, d’où 2 possibilités : B = 1g et V = 2g ou B = 2g et V = 4g (seules valeurs possibles puisque le poids maximum d'une bille est 4 g).
En reportant ces valeurs dans l’égalité (1), déduire que : R = 3g et N = 4g ou R = 1g et N = 3g.
pesée, déduction
Points attribués, sur 171 classes de 20 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 2 (3%) | 9 (15%) | 17 (28%) | 8 (13%) | 24 (40%) | 60 | 2.72 |
| Cat 6 | 6 (11%) | 3 (5%) | 18 (32%) | 17 (30%) | 13 (23%) | 57 | 2.49 |
| Cat 7 | 1 (2%) | 3 (6%) | 20 (37%) | 12 (22%) | 18 (33%) | 54 | 2.8 |
| Total | 9 (5%) | 15 (9%) | 55 (32%) | 37 (22%) | 55 (32%) | 171 | 2.67 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
(c) ARMT, 2015-2024