Le poids des billes (II)

Identification

Rallye: 23.F.13 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: OPN, LR
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• EGA - Traiter des égalités ou inégalités
• LO - Effectuer des déductions
• LO/NU - Effectuer des déductions avec des contraintes numériques

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer les masses respectives de quatre objets à partir des informations données par trois pesées réalisées avec une balance à deux plateaux et de la donnée des quatre masses.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Savoir interpréter un équilibre et un déséquilibre d’une balance à deux plateaux :

- De

déduire que la somme des masses de la bille rouge et de la bille verte est égale à la somme des masses de la bille bleue et de la bille noire : R+V=B+N (1) À partir des données numériques, trouver que cette égalité ne peut être réalisée que d’une façon : 3 + 3 = 2 + 4. En déduire que les billes de même masse sont soit la bille rouge et la bille verte, soit la bille bleue et la bille noire.

- De

déduire que la somme des masses de la bille rouge et de la bille bleue est inférieure à la somme des masses de la billes noire et de la bille verte : R+B < N+V (2)

Envisager les différents cas :

• Si R = V = 3 et B = 4 et N = 2, l’inégalité n’est pas vérifiée car on a alors R + B > N + V
• Si R = V = 3 et B = 2 et N = 4, l’inégalité est vérifiée : R + B < N + V
• Si B = N = 3 et R = 4 et V = 2, l’inégalité n’est pas vérifiée car on a alors R + B > N + V
• Si B = N = 3 et R = 2 et V = 4, l’inégalité est vérifiée : R + B < N + V

- De

déduire que la somme des masses de la bille rouge et de la bille noire est inférieure à la somme des masses de la billes bleue et de la bille verte : R + N < B + V (3) Constater que des deux cas qui vérifent l’inégalité (2), seul B = N = 3 et R = 2 et V = 4 satisfait l’inégalité (3). Donc, les deux billes qui ont la même masse sont la bille bleue et la bille noire, la bille la plus lourde est la verte et la plus légère est la rouge.

Ou, après avoir traduit les pesées en l’égalité (1) et les inégalités (2) et (3), déduire de (1) et (2) que B < V et de (1) et (3) que N < V.

- A partir des données numériques, trouver que ces deux inégalités strictes ne peuvent être vérifiées que si V = 4. Faire l’inventaire des cas possibles. Il y en a trois :

• B = 2 et N = 3 et R = 3
• B = 3 et N = 2 et R = 3
• B =N = 3 et R = 2

pour chacun de ces cas, tester si l’égalité (1) est vérifiée. Seul B = N = 3 et R = 2 et V = 4 convient.

Ou : faire des hypothèses sur la masse de chacune des billes et pour chaque cas, vérifier si l’égalité et les deux inégalités sont vérifiées. Il faut examiner tous les cas possible pour s’assurer de l’unicité de la solution.

Notions mathématiques

pesée, balance, déduction

Résultats

23.F.13

Points attribués, sur 101 classes de 19 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (la bille noire et la bille bleue pèsent 3g, la verte 4g, la rouge 2g) avec explications claires prouvant l’unicité de la solution
• 3 points: Réponse correcte avec explications incomplètes (par exemple sans preuve de l’unicité de la solution)
  ou réponse correcte sans explication mais avec vérification des trois pesées
• 2 points: Réponse correcte sans explication et sans vérification des pesées
• 1 point: Solution qui ne vérifie que deux des trois pesées
  ou début de raisonnement correct (par exemple, essais de nombres pour vérifier les contraintes de la situation, écriture de l’égalité et deux inégalités, …)
• 0 point: Incompréhension du problème

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