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Banque de problèmes du RMT

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Les cubes de Zoé (II)

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Rallye: 23.F.14 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaine: OPN
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Résumé

Déterminer un entier naturel inférieur à 50 ayant 4 décompositions trapézoïdales (décompositions en sommes d’entiers consécutifs).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre la règle de construction des empilements à l’aide du texte et des dessins.

- Comprendre qu’il s’agit de chercher des décompositions additives d’entiers naturels inférieurs ou égaux à 50, réalisées avec des entiers consécutifs.

- Comprendre qu’il faut chercher un entier inférieur ou égal à 50, ayant 4 décompositions trapézoïdales.

- Procéder de façon systématique en cherchant toutes les décompositions trapézoïdales des entiers naturels inférieurs ou égaux à 50 et s’apercevoir que le premier et le seul qui permette d’obtenir plus de 3 décompositions est 45 et donc que 45 convient.

La justification attendue est la production des 5 sommes suivantes : 45 = 22 + 23 = 14 + 15 + 16 = 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9.

- Procéder par essais additifs plus ou moins organisés et aboutir à 45. On peut par exemple partir de 45 = 22 + 23 et diminuer la valeur de chacun des termes de façon plus ou moins réfléchie.

Notions mathématiques

cube, empilement

Résultats

23.F.14

Points attribués, sur 101 classes de 19 sections:

Catégorie01234Nb. de classesMoyenne
Cat 813 (25%)8 (16%)10 (20%)16 (31%)4 (8%)511.8
Cat 95 (20%)3 (12%)5 (20%)10 (40%)2 (8%)252.04
Cat 107 (28%)0 (0%)2 (8%)9 (36%)7 (28%)252.36
Total25 (25%)11 (11%)17 (17%)35 (35%)13 (13%)1012
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

  • 4 points: Réponse correcte (45 cubes) avec les 5 décompositions 45 = 22 + 23 = 14 + 15 + 16 = 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) et explications prouvant l’unicité de la solution.
  • 3 points: Réponse correcte (45 cubes) mais avec seulement quatre décompositions
  • 2 points: Réponse « 45 cubes » sans aucune décomposition
    ou identification d’un nombre autre que 45 ayant 3 décompositions trapézoïdales avec donnée de ces décompositions
  • 1 point: Début de raisonnement correct avec présence de quelques tentatives
    ou réponse erronée du fait d’une erreur de calcul
  • 0 point: Incompréhension du problème