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A la recherche du nombre perdu

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Rallye: 23.F.16 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: OPD, AL
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Résumé

Déterminer un nombre décimal tel que l'application des deux programmes de calcul: x 11 - 9 et x 3 + 4 conduit au même résultat.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre qu’un même nombre est tapé au départ sur les deux calculatrices et qu’après avoir effectué deux séquences de calculs différentes, l’une sur une calculatrice et l’autre sur l’autre calculatrice, on obtient le même résultat sur les deux calculatrices

- Procéder par essais : choisir un nombre de départ et effectuer les calculs faits par Alice et Bertrand. Poursuivre avec de nouveaux essais inorganisés ou choisir de nouvelles valeurs à tester en fonction de l’évolution de l’écart constaté entre les deux résultats, jusqu’à trouver le nombre cherché.

- Ou engager une résolution algébrique :

Soit en écrivant une équation avec une seule inconnue en désignant par exemple par a le nombre de départ :

11a – 9 = 3a +4, d’où a = 1,625.

Soit en écrivant un système de deux équations du premier degré à deux inconnues :

\[ \big\{ \begin{aligned} 11a - 9 = b \\ 3a + 4 = b \end{aligned} \]

dont la résolution conduit à a = 1,625 et b = 8,875

Remarque : la résolution du système peut aussi se faire par essais et ajustements.

Notions mathématiques

calculatrice, équation

Résultats

23.F.16

Points attribués, sur 100 classes de 19 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 8	5 (10%)	2 (4%)	3 (6%)	2 (4%)	39 (76%)	51	3.33
Cat 9	2 (8%)	1 (4%)	0 (0%)	4 (17%)	17 (71%)	24	3.38
Cat 10	3 (12%)	0 (0%)	0 (0%)	1 (4%)	21 (84%)	25	3.48
Total	10 (10%)	3 (3%)	3 (3%)	7 (7%)	77 (77%)	100	3.38
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Réponse correcte (1,625) avec explications complètes et claires.
3 points: Traduction correcte du problème par une équation ou un système d’équations, mais réponse erronée due à erreur de calcul
ou réponse exacte avec explications incomplètes ou peu claires.
2 points: Réponse correcte, sans explications
ou recherche inaboutie avec une valeur approchée de la solution comprise entre 1,62 et 1,63
1 point: Début de raisonnement correct : premiers essais qui montrent la compréhension du problème ou problème mis en équation (une équation ou système d’équations)
ou réponse 8,875 qui est le résultat commun des deux séquences de calcul
0 point: Incompréhension du problème

Bibliographie

D’après « Les débuts de l’algèbre au collège », INRP, 1996

Banque de problèmes du RMT