La pyramide de Sophie

Identification

Rallye: 23.F.17 ; catégories: 9, 10 ; domaine: 3D
Familles:

• LAV - Utiliser des longueurs, surfaces et volumes dans l'espace
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/PY - Utiliser une relation classique

Envoyer une remarque ou une suggestion

Résumé

Déterminer les longueurs des arêtes d'un prisme à base carrée inscrit dans une pyramide régulière à base carrée dont toutes les arêtes mesurent 1 mètre. La base du prisme est contenue dans la base de la pyramide et quatre de ses sommets sont les centres de gravité des faces de la pyramide.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre que les faces latérales de la pyramide sont des triangles équilatéraux.

- Comprendre que la position des sommets du parallélépipède peut être obtenue en coupant la pyramide par un plan contenant la hauteur CO de la pyramide et passant par le milieu H d’un côté de sa base.

- Utiliser une des deux stratégies possibles:

Stratégie s’appuyant sur des propriétés et théorèmes et sur le calcul

Si M désigne le centre de gravité d’une face triangulaire de la pyramide et N le pied de la perpendiculaire menée de M à la base de la pyramide, on obtient une arête latérale [MN] du parallélépipède.

Comprendre que $ON$ est égal à la moitié de la diagonale de la base carrée du parallélépipède.

Si CAB est une face latérale de la pyramide, utiliser le fait que son centre de gravité M est situé au tiers de CH à partir de H et donc que :

$MH=\frac{1}{3}CH = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}BC = \frac{\sqrt{3}}{6}$ (en mètres)

Il est alors possible alors de déterminer la longueur MN en appliquant le théorème de Thalès ou en utilisant les triangles semblables OCH et NMH : $OH = AB/2 =$ 0,5 (en mètres) et en utilisant le théorème de Pythagore :

$OC=\sqrt{CH^2 - OH^2}= \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Donc : $MN/OC = MH/CH$ d’où $MN = OC × MH/CH = \frac{\sqrt{2}}{6}$ (en mètres)

$NH/OH = MH/CH$ donc $NH = OH \times MH/CH = 1/2 x 1/3 = 1/6$

D’où $ON = OH – NH = 1/2 – 1/6 = 2/6$ (en mètres)

et donc $2 ON = 4/6 = 2/3$ (en mètres)

Ainsi, la diagonale du carré de base du parallélépipède mesurant 2/3 (en mètres), sa base mesure $\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Donc, les arêtes du parallélépipède mesurent respectivement $\frac{\sqrt{2}}{3}$ mètres (soit 0,47 mètres en arrondissant au cm) et $\frac{\sqrt{2}}{6}$ mètres (soit 0,24 mètres en arrondissant au cm)

- Autre possibilité pour déterminer la longueur du côté de base du parallélépipède :

ABFE est la base de la pyramide et NPRL la base du parallélépipède rectangle.

En utilisant le théorème de Thalès : $ON/OH = NP/HI$ donc $NP = ON/OH \times HI = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

Stratégie reposant sur des propriétés, le dessin et la mesure

- Représenter le triangle ACB par exemple à l’échelle 1/10, tracer deux des trois médianes après avoir précisé ce qu’est le centre du triangle et mesurer MH au mm près.

- Calculer OC, et tracer le triangle rectangle OCH. Reporter à la règle ou au compas la distance MH sur [CH], tracer et mesurer MN.

- Tracer le carré OHAI ou le carré ABFE et de ses médianes, utiliser la règle ou le compas pour placer N sur [OH] et P sur [OI] et mesurer NP

Notions mathématiques

pyramide, base, prisme, face, centre de gravité, hauteur, volume, parallélépipède, diagonale, Thalès, arête

Résultats

23.F.17

Points attribués, sur 43 classes de 8 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Bonne réponse ($\sqrt{2}/3$ et $\sqrt{2}/6$ ou 0,47 et 0,23 ou 0,24 mètres ou 47,1 cm et 23,6 cm) avec des explications claires
• 3 points: Réponse correcte avec des explications incomplètes ou avec des valeurs approchées obtenues à partir de différentes approximations faites au début des calculs)
  ou réponse erronée due uniquement à une erreur de calcul, mais avec les explications appropriées
• 2 points: Réponse incomplète, mais avec des signes évidents de compréhension du problème (par exemple, prise en compte du centre de gravité du triangle et de la section de la pyramide)
• 1 point: Début de raisonnement correct qui implique la compréhension du problème (par exemple, le calcul exact de la mesure de la hauteur de la pyramide)
• 0 point: Incompréhension du problème