Banque de problèmes du RMT
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Déterminer les longueurs des arêtes d'un prisme à base carrée inscrit dans une pyramide régulière à base carrée dont toutes les arêtes mesurent 1 mètre. La base du prisme est contenue dans la base de la pyramide et quatre de ses sommets sont les centres de gravité des faces de la pyramide.
- Comprendre que les faces latérales de la pyramide sont des triangles équilatéraux.
- Comprendre que la position des sommets du parallélépipède peut être obtenue en coupant la pyramide par un plan contenant la hauteur CO de la pyramide et passant par le milieu H d’un côté de sa base.
- Utiliser une des deux stratégies possibles:
Stratégie s’appuyant sur des propriétés et théorèmes et sur le calcul
Si M désigne le centre de gravité d’une face triangulaire de la pyramide et N le pied de la perpendiculaire menée de M à la base de la pyramide, on obtient une arête latérale [MN] du parallélépipède.
Comprendre que $ON$ est égal à la moitié de la diagonale de la base carrée du parallélépipède.
Si CAB est une face latérale de la pyramide, utiliser le fait que son centre de gravité M est situé au tiers de CH à partir de H et donc que :
$MH=\frac{1}{3}CH = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}BC = \frac{\sqrt{3}}{6}$ (en mètres)
Il est alors possible alors de déterminer la longueur MN en appliquant le théorème de Thalès ou en utilisant les triangles semblables OCH et NMH : $OH = AB/2 =$ 0,5 (en mètres) et en utilisant le théorème de Pythagore :
$OC=\sqrt{CH^2 - OH^2}= \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Donc : $MN/OC = MH/CH$ d’où $MN = OC × MH/CH = \frac{\sqrt{2}}{6}$ (en mètres)
$NH/OH = MH/CH$ donc $NH = OH \times MH/CH = 1/2 x 1/3 = 1/6$
D’où $ON = OH – NH = 1/2 – 1/6 = 2/6$ (en mètres)
et donc $2 ON = 4/6 = 2/3$ (en mètres)
Ainsi, la diagonale du carré de base du parallélépipède mesurant 2/3 (en mètres), sa base mesure $\frac{\sqrt{2}}{3}$.
Donc, les arêtes du parallélépipède mesurent respectivement $\frac{\sqrt{2}}{3}$ mètres (soit 0,47 mètres en arrondissant au cm) et $\frac{\sqrt{2}}{6}$ mètres (soit 0,24 mètres en arrondissant au cm)
- Autre possibilité pour déterminer la longueur du côté de base du parallélépipède :
ABFE est la base de la pyramide et NPRL la base du parallélépipède rectangle.
En utilisant le théorème de Thalès : $ON/OH = NP/HI$ donc $NP = ON/OH \times HI = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$
Stratégie reposant sur des propriétés, le dessin et la mesure
- Représenter le triangle ACB par exemple à l’échelle 1/10, tracer deux des trois médianes après avoir précisé ce qu’est le centre du triangle et mesurer MH au mm près.
- Calculer OC, et tracer le triangle rectangle OCH. Reporter à la règle ou au compas la distance MH sur [CH], tracer et mesurer MN.
- Tracer le carré OHAI ou le carré ABFE et de ses médianes, utiliser la règle ou le compas pour placer N sur [OH] et P sur [OI] et mesurer NP
Points attribués, sur 43 classes de 8 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 14 (67%) | 5 (24%) | 2 (10%) | 0 (0%) | 0 (0%) | 21 | 0.43 |
| Cat 10 | 9 (41%) | 10 (45%) | 3 (14%) | 0 (0%) | 0 (0%) | 22 | 0.73 |
| Total | 23 (53%) | 15 (35%) | 5 (12%) | 0 (0%) | 0 (0%) | 43 | 0.58 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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