Roses et tulipes

Identification

Rallye: 23.F.18 ; catégories: 9, 10 ; domaine: OPN
Familles:

• DIV - Rechercher des multipes et/ou des diviseurs
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires
• MUL - Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver, parmi les couples de nombres naturels (N; M) tels que 3M = 4N + 4 celui pour lequel la somme 15N + 22M est inférieure et la plus proche de 400; dans un contexte de bouquets de fleurs.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre que les fleurs restantes correspondent à 4 bouquets de roses et 3 bouquets de tulipes et que le nombre de tulipes restantes est égal au nombre de roses restantes augmenté de 4.

- Comprendre qu’il est préférable de raisonner sur le nombre de fleurs par bouquet.

Résolution arithmétique : considérer que le nombre de roses restantes est un multiple de 4 et que le nombre de tulipes restantes est un multiple de 3. Le problème revient à chercher un multiple de 3 qui est égal à un multiple de 4, ce qui permet d’obtenir un nombre de fleurs au début de journée voisin de 400 (mais inférieur à 400).

- Ecrire les listes des multiples successifs de 4 et 3 :

  4  8  12  16  20  24  28  32  36  40  44  48  …
  3  6   9  12  15  18  21  24  27  30  33  36  39  42  45  48  …

- Rechercher les nombres communs aux deux listes et retenir les multiples de 4 inférieurs à chacun de ces nombres.

On obtient les couples possibles (8, 12), (20, 24), (32, 36), (44, 48) qui correspondent à des bouquets formés respectivement ainsi (2 roses, 4 tulipes), (5 roses, 8 tulipes), (8 roses, 12 tulipes), puis les nombres initiaux de roses, tulipes et de fleurs qui sont : (30 roses, 88 tulipes, 118 fleurs), (75 roses, 176 tulipes, 251 fleurs), (120 roses, 264 tulipes, 384 fleurs), (165 roses, 352 tulipes, 517 fleurs). Conclure que la réponse est 120 roses et 264 tulipes

Résolution algébrique: si on désigne par x le nombre de roses par bouquet et y le nombre de tulipes par bouquet, le nombre de roses restantes est égal à 4x, le nombre de tulipes restantes est égal à 3y et, comme il reste 4 tulipes de plus que de roses, on a 4x + 4 = 3y.

- L'équation peut être résolue par essais organisés ou non, par exemple en attribuant successivement à x les valeurs 1, 2, 3, 4 ... et en vérifiant si le premier membre 4x + 4 est un multiple de 3. On obtient ainsi les valeurs suivantes pour le couple (x, y) : (2, 4) ; (5, 8) ; (8, 12) ; (11, 16) ; (14, 20)… à partir desquelles, on peut calculer le nombre total de fleurs que Sylvie avait en magasin au début de la journée :

• 30 roses et 88 tulipes, soit 118 fleurs en tout, ce qui est trop peu ;
• 75 roses et 176 tulipes, soit 251 fleurs en tout, ce qui est trop peu ;
• 120 roses et 264 tulipes, soit 384 fleurs en tout, ce qui se rapproche de 400 ;
• 165 roses et 352 tulipes, soit 517 fleurs en tout, ce qui est trop !

- Conclure que Sylvie avait au début de la journée 120 roses et 264 tulipes.

Ou : à partir du système 4x + 4 = 3y ; 15x + 22y < 400, obtenir que x < 8,361 qui conduit à 8 roses par bouquet et 12 tulipes par bouquet.

Notions mathématiques

combinaison linéaire, inégalité

Résultats

23.F.18

Points attribués, sur 49 classes de 8 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (120 roses et 264 tulipes) avec explication claire et complète, montrant l’unicité de la solution
• 3 points: Réponse correcte mais avec des explications peu claires ou avec seulement la vérification des contraintes de l’énoncé
  ou réponse 384 fleurs avec explication claire et complète, montrant l’unicité de la solution
• 2 points: Procédure correcte, mais avec une erreur de calcul
  ou réponse (75 roses et 176 tulipes) avec explication claire
  ou réponse (8 et 12) qui correspond aux nombres de roses et de tulipes par bouquet
• 1 point: Réponse correcte sans aucune explication
  ou début de raisonnement correct
• 0 point: Incompréhension du problème

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